高中数学导数

证明:y=f(x)=x？+bx？+cx+d，当b=0时，y=f(x)=x？+cx+d，f(0)=d

y'=f'(x)=3x？+2bx+c，当b=0时，y'=f'(x)=3x？+c，f'(0)=c

在(0，f(0))处，切线方程为f(x)-f(0)=f'(0)*(x-0)，整理后为f (x) = CX+D

而曲线方程是f(x)=x？+cx+d

解联立方程，cx+d=x？+cx+d

简化得到X？=0，x=0是方程组的唯一解。

即当b=0时，在(0，f(0))处，曲线和切线只有唯一解X = 0，f (0) = d，即有唯一的公共点(0，d)。

完成证书。

(2)设f'(x)=3x？+2bx+c=0，可以得到两个极值点；

x1={-2b+sqrt[(2b)？-4*3*c]}/(2*3) ①

x2={-2b-sqrt[(2b)？-4*3*c]}/(2*3) ②

X1+x2=(-4b)/6=-2b/3由已知的x1+x2=2可知-2b/3 = 2，b =-3 ③。

∫f(x)= x？+bx？+cx+d f'(x)=3x？+2bx+c

∴f(1)=1+b+c+d f '(1)= 3+2 b+ c

曲线y=f(x)在点(1，f(1))的切线方程为

f(x)-f(1)= f '(1)*(x-1)，即

y-1-B-C-D =(3+2B+C)*(X-1)，即

y-(3+2 b+ c)x-(1+b+ c+d-3-2 B- c)= 0，即

y-(3+2 b+ c)x-(-2 b+ d)= 0，即

-(3+2b+c)x+y-(-2-b+d)=0检查问题中已知的切线方程。

12x+y-13=0说明变量的系数应该相等。

即-(3+2b+c)=12 ④

-2-b+d=13 ⑤

b=-3 ③

同时求解上述三个方程，可以得到

b=-3，

c=-9，

d=12，

此时，曲线方程为

f(x)=x？-3x？-9x+12，按照之前的计算。

x1={-2b+sqrt[(2b)？-4 * 3 * c]}/(2 * 3)= { 6+sqrt[36+108]}/6 =(6+12)/6 = 3⑥

x2={-2b-sqrt[(2b)？-4 * 3 * c]}/(2 * 3)= { 6-sqrt[36+108]}/6 =(6-12)/6 =-1②

f(x1)=3？-3*3?-9*3+12=27-27-27+12=-15

f(x2)=(-1)？-3*(-1)?-9*(-1)+12=-1-3+9+12=17

f(x 1)+f(x2)=-15+17 = 2

玩得开心！