如何证明函数是周期函数

周期函数的确定方法分为以下步骤:

(1)判断f(x)的定义域是否有界；

例:f(x)=cosx(≤10)不是周期函数。

(2)根据定义讨论函数的周期性，已知非零实数T与关系f(x+T)= f(x)中的X无关，那么我们可以求解关于T的方程f(x+T)- f(x)=0，如果可以求解与X无关的非零常数T，就可以得出函数f(x)是周期函数，如果这样的T不存在，f。

例:f (x) = cosx 2是非周期函数。

(3)一般用反证法证明。(如果f(x)是周期函数，推导矛盾，得出f(x)是非周期函数)。

例:证明f(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证明:若f(x)=ax+b是周期函数，存在T(≠0)，成立，a(x+T)+b=ax+b ax+aT-ax=0，aT=0且a≠0，

∴T=0与T≠0矛盾，

∴f(x)是一个非周期函数。

扩展数据:

对于函数y=f(x)，如果有一个非零常数T，使得当x取定义域中的每一个值时f(x+T)=f(x)成立，那么函数y=f(x)称为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期。

其实任何常数kT(k∈Z，k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期t是独立于x的非零常数，周期函数不一定有最小正周期。

周期函数的性质可以分为以下几种类型:

(1)如果T(≠0)是f(x)的周期，那么-T也是f(x)的周期。

(2)如果T(≠0)是f(x)的周期，那么nT(n是任意非零整数)也是f(x)的周期。

(3)如果T1和T2都是f(x)的周期，那么T1 T2也是f(x)的周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*，则f(x)的任何正周期T必是T*的正整数倍。

(5)如果T1和T2是f(x)的两个周期，T1/T2是无理数，那么f(x)没有最小正周期。

(6)周期函数f(x)的定义域m必须是至少有一边的无界集合。

若f(x)是以T*为集合M上最小正周期的周期函数，则f(ax+n)是以T*/ a为集合{x|ax+b∈M}上最小正周期的周期函数，其中a和b为常数。

证书:

先证明f(ax+b)的周期。

∫T *是f(x)的周期，

∴ f (x t *) = f (x)，用x t * ∈ m，用ax+b代替x，f (ax t *+b) = f (ax+b)。此时ax+b∈M，提取a为公因子。

∴T*/a是f(ax+b)的周期。

第二个证明是f(ax+b)的最小正周期。

假设有t'/a (0

∴T'是f(x)的周期，但是t '

∴没有t'/a (0

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