线性代数88年真题及答案

(1)A的秩为n，所以A的行列式不等于零，A*的行列式等于A的行列式的(n-1)次幂，所以A*的行列式不为零，所以A*的秩为n。

(2)若A的秩为n-1，则A的行列式为0，所以AA*=0。

由于r(A)=n-1，显然A的n-1阶子行列式中至少有一个不等于零，所以A*不等于零。。推导出r(A*)大于或等于1。。

另一方面，由于r(A)+r(A*)小于等于N，从上推导出r(A*)小于等于1，r(A*)大于等于1，所以r(A*)=1。

(3)若A的秩小于n-1，则推导出A的任意n-1子式等于零，A*的每个元素由A的n-1子式组成，所以A*是零矩阵，推导出r(A*)=0。

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第二个问题:

1.求齐次方程AX=0的通解；

从条件中很容易知道，A1，A2，A3，A4线性相关，A的秩为3，所以方程组的基本解系只包含一个向量。因为a1=2a2-a3，即:a1-2a2+a3+0*a4=0，所以:(1，-2，1，0)T是方程组的一个解，所以一般解为:x = k。

2.求AX=b的特解:

(a1，a2，a3，a4)(x1，x2，x3，x4)T=(a1+a2+a3+a4)

所以:(1，1，1，1)T是特解。

3.因此，齐次线性方程组的一般解是:

x=k*(1，-2，1，0)T+(1，1，1，1)T