数学竞赛的真题
1，已知n是正整数，2n+1和3n+1是完全平方，所以:
n=40，
5n+3=5*40+3=203
因为203=29*7，不是质数。
所以没有这个数n；？##
2.设m是整数，关于x的方程MX 2+2 (m-5) x+m-4 = 0有整数根，那么m的值是？(m=-18)
= = & gtdelta:=[2(m-5)]^2-4m(m-4)=100-24m
原公式的解:x = [-2 (m-5) √ (100-24m)]/2m。
=-1+[5√(25-6m)]/米
=-1+{5 √[5^2+(-6m)]}/m？
要使√[ 5 ^ 2+(-6m)]}成为整数，
= = & gt5 ^ 2+(-6m)必须是完整的平方数。
= = & gt从毕达哥拉斯数5-12-13，我们得到
-6m=12^2=144
m =-18；
= = & gt？x =-1+{ 5 √[5^2+(-6*-18)]}/(-18)
=-1+{5?√[5^2+12^]}/(-18)
=-1+(5 ?13)/(-18)
有一个整数根:=-1+(5+13)/(-18)=-2；
3.如果对于一个不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1可以表示为k个完全平方的和，那么k的最小值是(？1?)
a、1？b、2C、3D、4
解决方案:
当3n+1是完全平方数时，？N+1可以表示为k个完全平方的和，
不小于8的自然数n，其中n=8，具有:
3*8+1=25是一个完整的平方数；
n+1 = 8+1 = 9；
9=3^2=2^2+2^+1^2;
所以最小的K = 1；？
4.如果m 2 = n+2，n 2 = m+2 (m不等于n)，则m 3-2mn+n 3的值为(？0?)
a、1B、0C、1D、2
解法:m 2 = n+2，n 2 = m+2，两个表达式相减:(m2-N2)=-(m-n)= > m+n =-1；
M 2 = n+2，n 2 = m+2，两个表达式相加:(m2+N2)=(m+n)+4 = = > m^2+n^2=3；
因为:m+n =-1 = = & gt；(m+n)^2=(-1)^2
= = & gt？m^2+n^2+2mn=1
= = & gt？mn=[1-(m^2+n^2)]/2=(1-3)/2=-1；
m+n =-1 = = & gt；(m+n)^3=(-1)^3
= = & gt？m^3+n^3+3mn(m+n)=-1
= = & gt？m^3+n^3=1-3mn(m+n)=1-3*(-1)(-1)=-2；
所以:m3-2mn+n3 =-2-2 *(1)= 0；？##
5.设N=23x+92y为完全平方数，且N不超过2392，则所有正整数对(x，y)***有_2115_对满足上述条件。
解:因为N=23x+92y，？
= = & gty=-x/4+N/92
因为n不超过2392
所以n/92 < = 2392/92 = 26；
相比之下，N/92 (26，25，24，23，22…，3，2，1)的可能取值范围是:仅当N/92=23时，N/92=23。
= = & gtN=2116=46*46，是一个完整的平方数。
= = & gty=-X/4+2116
即在直线y=-X/4+2116上求正整数解(X，y)。
= = & gt其正整数的通解:？(X=4K，Y=2116-K)，其中(K为自然数，K=1，2，3，，n)。
要使Y=2116-k为正整数，
= = & gty = 2116-k & gt；0;
= = & gtK & lt2116;K=2115？；
所以* * *有2115对正整数(x，y)；##
6.在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数，纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求所有“好点”在二次函数Y = (x-90) 2-4907图像上的坐标。
(题目“Y = (X-90) 2-4907”中的“4907”是否有误，请仔细查看并修改！！！)
7.已知方程x 2-6x-4n 2-32n = 0的根都是整数，求整数n的值..
解决方案:= = & gtdelta:=6^2-4(-4n^2-32n)=36+4(4n^2+32n)
原公式的解法:x = 6 √ [36+4 (4n 2+32n)]/2。
=3 √(4n^2+32n+9)
为了使x成为整数，
= = & gt4n 2+32n+9必须是一个完整的平方数。
= = & gtGet:取4n ^ 2+32n+9 =(1，4，9，16，25，36，49，64，…，n ^ 2)。
4n^2+32n+9=9
= = & gtn = 0；##
8.若D，E，F分别是△ABC的BC，CA，AB上的点，BD: DC = 1，Ce: EA = 2，AF: FB = 3，S△ABC=24，求△DEF的面积。
解决方案:
(1)找到S3
△ABC、△AFC、△BFC以AB为底，过C点，高度相同，设为h
所以有:AB*H=？s△ABC；
FB*H=？s△BFC；？
除以两个公式:S△BFC=FB/AB*？s△ABC；
因为AF？:FB = 3；？= = & gtAB:FB = 4；
所以:S△BFC=FB/AB*？s△ABC = 1/4 * 24 = 6；
在△BFC，d是公元前的中点，所以:
S3和S△DFC面积相等，= = & gt？S3=？s△BFC/2 = 6/2 = 3；
②找S2，S1？
△ABC、△ABE、△BEC以AC为底，过B点，高度相同，故设为Hb。
所以有:AC*Hb=？s△ABC；？- (*)
AE*Hb=？s△安倍；？- (**)
EC*Hb=？s△BEC；？- (***)
除以(*)和(* *): S△ABE=AE/AC*？s△ABC；
除以(*)和(* * *): S△BEC=CE/AC*？s△ABC；
因为CE:AE？=2;？= = & gtAE:AC = 1/3；
= = & gtCE:AC = 2/3；
所以:S△ABE=AE/AC*？s△ABC = 1/3 * 24 = 8；
S△BEC=CE/AC*？s△ABC = 2/3 * 24 = 16；
在△ABE中，f是AB的(3:1)点，所以:(同样，高度相等，底部不同)
S2与S△DFC面积之比=底边之比=AF/FB=3:1。
= = & gt？S2和？S△ABE的比值= 3/4；
= = & gt？S2=？s△ABE * 3/4 = 8 * 3/4 = 6；
类似的S1=？s△BEC * 1/2 = 16 * 1/2 = 8；
所以s△def = s△ABC-s 1-S2-S3 = 24-8-6-3 = 7；##
9.设A ^ 2+1 = 3a，B ^ 2+1 = 3b，a≠b，则代数表达式(1/A ^ 2)+(1/B ^ 2)的值为(？B=7？)
a、5B、7C、9D11
解法:A 2+1 = 3a，B 2+1 = 3b减法。
= = & gta^2-b^2=3(a-b)
= = & gt(a-b)(a+b)=3(a-b)，？而a≠b，
= = & gta+b=3(1)
A 2+1 = 3a，B 2+1 = 3b。
= = & gta^2+b^2+2=3(a+b)
= = & gta^2+b^2=3*3-2=7；(2)
因为(1)a+b=3。
= = & gt(a+b)^2=3^2=9
= = & gta^2+b^2+2ab=9；
= = & gt？2ab=9-(？a^2+b^2)=9-7=2；
= = & gt？ab = 1；；？
所以(1/a2)+(1/B2)=(a2+B2)/(？ab)^2=7/1=7；？##