2007年广州市数学第24题全部正确答案(最好)

已知在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ADE中，AD=DE，连接EC，取EC的中点m，连接DM和BM，

(1)若d点在AC侧，e点在AB侧且与b点不重合，如图①所示，证明BM=DM，BM⊥DM；

(2)如图①所示，△ADE绕A点逆时针旋转小于45°的角度，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？如果没有，请举出反例；如果有，请举证。

解:(1)略

(2)猜想:成立。证明如下

证明:(如图，DF⊥AE跨AE到f，BG⊥AC跨AC到g，连接FM和GM)。

在rt delta ade和rt delta ABC。

AD = DE AB = BC

还有DF⊥AE BG⊥AC

∴F是AE中点，g是AC中点(三条线合二为一的等腰三角形)

∴DF=AF BG=AG(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)

M是CE的中点。

∴FM是△ △AEC的中线。

GM是△ACE的中线

∴FM‖AC GM‖AE(三角形中线定理)

∴四边形AGMF是平行四边形(两组边相对的平行四边形是平行四边形)

∴FM=AG GM=AF(等边平行四边形)

∴DF=GM BG=FM(等效替代)

∠BGM=90 -∠MGC

以及∠MGC=∠FAG=∠EFM(两条直线平行且夹角相同)。

∴∠BGM=90 -∠EFM

也就是∠BGM=∠MFD

在△FDM和△GMB。

FD = GM

∠MFD=∠BGM

FM=GB

∴△FDM≌△GMB(边缘定理)

∴DM=MB ∠FMD=∠GBM

∴∠DMB=∠FMD+∠FMB

=∠GBM+∠FMB

=∠EPB(三角形的任意两个内角之和等于不相邻的外角)

而∠FPB =∠AGB = 90°(两条直线平行，同角相等)。

也就是∠ dmb = 90。

∴DM=BM和DM⊥BM

我自己在这里画的图，可能不好看:

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