高等数学专题——函数、极限和连续性

如果(1)函数在闭区间上连续，则该函数在闭区间上有界。

(2)函数在开区间(a，b)内连续，当极限x趋近于a+且x趋近于b-时存在，则函数在开区间(a，b)内有界。

2.单调性问题通过定义或求导来解决。

1.了解函数极限和数列极限的定义，唯一性(双边定义，左右极限相等)，局部有界性，局部保号。

2.数列极限存在定律:pinch准则和单调有界数列必有极限。(必需)

3.极限的本质:无限逼近但不等于。就算你给我全世界，我也只会在你身边。)

解决方案:

1.先简化(等价替换，注意X趋近于0，变形不变，大头抓)。

2.辨别类型(7种不定形式)

使用工具(洛必达、泰勒)

4.预防措施(盲点总结)

补充:

1.洛必达使用条件:当x趋近于A或无穷大(无穷大或无穷小)时，所有函数趋近于0或无穷大。

2.无限-无限，制造分母，综合得分。

3.遇到e和对数函数时要兴奋，提取成1-cosx，相当于无穷小代换，及时利用洛必达定律。

4.常见的思维是判断式、化简式、洛必达式或泰勒+无限代换式。

形成自己的解题模板，及时整理总是出现的错误，使之显形，如:及时提取不为零的函数，函数如何分离，前提是什么？这些都是不熟悉的点，洛必达之后我也没有足够复杂的计算能力。

这是考试的难点和热点。

通常有三种思维方式:

1.通项已知且易连续，利用归结原理。

2.通项已知，不易连续，所以用夹点判据。

3.通项由递推公式给出，并采用单调有界准则。

洛必达和泰勒通常用来简化推导，但难点在于掌握极限的基本算法。

两个基本结论:

有三种:高阶无穷小、等价无穷小、同阶无穷小。判断顺序，然后代入等价无穷小、泰勒或洛必达。

第一类间断点:可去间断点(左右极限相等但不等于该点的函数值)和跳跃间断。

第二种间断:无限间断和振荡间断。

问题:如何判断间断点的个数？数量总是不对？

解决方案:

1.求未定义点:即设分母为0或对数函数有未定义点。

2.然后用极限算法进行计算和验证。如果左右极限是同一个常数，则是可取的不连续，如果值是无穷大，则是无穷大的不连续。

我的总结:

注意基本运算尽量减少错误，比如-1立方，通常未定义的点都是分母为0的数，能尽快找到极限。

需要通过例题打通知识之间的障碍，比如与积分中值定理相关的08年真题。