一元二次方程的难题

学习目标

1.一些一元二次方程可以用因式分解来求解。

2.根据方程的特点，可以灵活运用一元二次方程的各种解法来求方程的根。

学科知识归纳

1.因式分解法如果一个二次方程的一边为0，另一边很容易分解成两个线性因子，比如x2-9 = 0，这个方程就可以转化为(x+3) (x-3) = 0。如果(x+3) (x-3)等于0，则需要且仅需要(。

2.因式分解法的关键是将一元二次方程化简为一元一次方程。其理论基础是:如果a？B = 0 a = 0或B = 0。

基础知识讲解

1.只有当方程的一边可以分解成两个线性因子，另一边为0时，才能用因式分解法求解一元二次方程。因式分解的时候，要根据情况灵活运用我们学过的几种因式分解的方法。

2.一元二次方程的四种解法中，以公式法为主，可以说是通用法，即可以解任意一元二次方程。但对于一些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平法简单，有的用因式分解法简单。所以在遇到问题的时候，要选择合适的方法去解决。用配方法解一元二次方程比较麻烦。

详细的例子

示例1:通过因式分解求解以下方程:

(1)y2+7y+6 = 0；(2)t(2t-1)= 3(2t-1)；(3)(2x-1)(x-1)= 1。

解法:(1)的方程可以转化为(Y+1) (Y+6) = 0，Y+1或Y+6 = 0，∴ y+1=0 =-1，Y2 =-。

(2)方程可以转化为t (2t-1)-3 (2t-1) = 0，(2t-1) (t-3) = 0，2t-1 = 0或t-3 = 0，∳.

(3)方程可以转化为2x2-3x = 0。x (2x-3) = 0，x = 0或2x-3 = 0。

∴x1=0,x2=。

注:(1)用因式分解法解一元二次方程时，一般需要将方程整理成通式。如果左边的代数可以分解成两个线性因子的乘积，右边为零，那么可以使每个线性因子为零，得到两个一元的线性方程组。这两个线性方程的解就是原方程的两个解。

(2)应用因式分解法求解方程，形式为(x-a) (x-b) = c，左边是两个线性因子的乘积，但右边不为零，所以要转化为(x-e) (x-f) = 0的形式，然后可以得到X1 = E，X2 = F。

原方程的变形为2x-1 = 1或x-1 = 1。∴ x1 = 1，x2 = 2。

(3)方程(2)中，为什么方程两边不能被(2t-1)整除？请考虑一下。

例2:用适当的方法求解下列方程:

(1)(1-x)2 =；(2)x2-6x-19 = 0；(3)3 x2 = 4x+1；(4)y2-15 = 2y；(5)5x(x-3)-(x-3)(x+1)= 0；

(6)4(3x+1)2=25(x-2)2。

解析:方程(1)采用直接开平法，方程(2)采用匹配法，方程(3)采用公式法，方程(4)转化为通式后采用因式分解法，而方程(5)和(6)不需要转化为通式，可以直接用因式分解法分解。

解:(1) (1-x) 2 =，(x-1) 2 = 3，x-1 =+,∴ x 1 = 1+，x2 =

(2)移动项得到x2-6x = 19，得到公式，x2-6x+(-3) 2 = 19+(-3) 2，(x-3) 2 = 28，x-3 = 2。

∴x1=3+2，x2=3-2。

(3)移动项得到3x2-4x-1 = 0，

∫a = 3，b=-4，c=-1，

∴x=，

∴x1=，x2=。

(4)移位项得到y2-2y-15 = 0，分解方程的左因子得到(y-5)(y+3)= 0；

∴ y-5 = 0或y+3 = 0，∴ y1 = 5，y2 =-3。

(5)分解方程的左因子得到(x-3) [5x-(x+1)] = 0，(x-3) (4x-1) = 0，

X-3 = 0或4x-1 = 0，

∴x1=3,x2=。

(6)移动项得到4 (3x+1) 2-25 (x-2) 2 = 0，

〔2(3x+1)〕〔2-〔5(x-2)〕〔2 = 0，

『2(3x+1)+5(x-2)』？〔2(3x+1)-5(x-2)〕=0，

(11x-8)(x+12)= 0，

∴ 11x-8 = 0或x+12 = 0，∴ x+12=0 =，x2 =-12。

注:(1)无理数系数的一元二次方程的解法与有理数相同，但要注意二次根的化简。

(2)直接因式分解可以转化为两个一阶因子的乘积等于零的形式，所以没有必要把这种形式的方程整理成通式。

例3:解关于X的方程:(A2-B2) x2-4abx = A2-B2。

解:(1)当A2-B2 = 0，即| A | = | B |，方程为-4abx = 0。

当a = b = 0时，X是任意实数。当a | = b | ≠ 0时，X = 0。

(2)当A2-B2 ≠ 0，即A+B ≠ 0，A-B ≠ 0时，方程为二次方程。

因式分解，得到

と(a+b)x+(a-b)とと(a-b)x-(a+b)〕= 0，

∵ A+B ≠ 0且A-B ≠ 0，

∴x1=，x2=。

注:解字母系数方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况。这个问题其实分为三种情况，即①a = b = 0；②| a | = | b |≠0；③| a |≦| b |。

例4:给定X2-XY-2Y2 = 0，且x≠0，y≠0，求代数式的值。

解析:要求对代数式求X和Y的值，但显然不能从已知条件中求出。要求代数表达式的分子和分母都是关于X和Y的二次齐次表达式，所以也可以知道X和Y的比值，把已知的x2-xy-2y2 = 0因式分解就可以得到X和Y的比值。

解:从x2-x=-y.-2y2 = 0，我们可以得到(x-2y) (x+y) = 0，∴ x-2y = 0或x+y = 0，∴ x = 2y或x=-y .

当x = 2 y时，。

当x =-y时。

说明:因式分解法体现了“归约”和“归约”的数学思想方法。它不仅可用于求解一元二次方程，还可用于求解一元二次方程、二元二次方程组以及相关代数表达式的计算和证明。

同步大纲练习

1.多项选择问题

方程(x-16) (x+8) = 0的根是()。

A.x1=-16，x2=8 B.x1=16，x2=-8 C.x1=16，x2=8 D.x1=-16，x2=-8

(2)下列等式中4x2-3x-1 = 0，5x2-7x+2 = 0，13x2-15x+2 = 0，有一种常见的* * *解法()。

A..x= B.x=2 C.x=1 D.x=-1

(3)方程5x (x+3) = 3 (x+3)的解是()

A.x1=，x2=3 B.x= C.x1=-，x2=-3 D.x1=，x2=-3

(4)方程(y-5) (y+2) = 1的根是()。

A.y1 = 5，y2 =-2b.y = 5c.y =-2d。以上答案都不正确。

(5)方程(x-1) 2-4 (x+2) 2 = 0的根是()。

A.x1=1，x2=-5 B.x1=-1，x2=-5 C.x1=1，x2=5 D.x1=-1，x2=5

(6)若一元二次方程x2+5x = 0的较大根设为m，x2-3x+2 = 0的较小根设为n，则m+n的值为()。

A.1

(7)给定三角形的两条边长分别为4和7，第三条边的长度是方程X2-16x+55 = 0的一个根，那么第三条边的长度是()。

A.5b.5或11 c . 6d . 11

(8)方程x2-3 | x-1 | = 1的不同解的个数是()

A.0 B.1 C.2 D.3

填空

(1)方程t (t+3) = 28的解是_ _ _ _ _。

(2)方程(2x+1) 2+3 (2x+1) = 0的解是_ _ _ _ _ _ _ _。

(3)方程(2y+1) 2+3 (2y+1)+2 = 0的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

(4)方程x2+(m+n) x+Mn = 0关于x的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

(5)方程x (x-) =-x的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

3.通过因式分解求解下列方程:

(1)x2+12x = 0；(2)4x 2-1 = 0；(3)x2 = 7x；

(4)x2-4x-21 = 0；(5)(x-1)(x+3)= 12；(6)3 x2+2x-1 = 0；

(7)10 x2-x-3 = 0；(8)(x-1)2-4(x-1)-21 = 0。

4.用适当的方法求解下列方程:

(1)x2-4x+3 = 0；(2)(x-2)2 = 256；(3)x2-3x+1 = 0；

(4)x2-2x-3 = 0；(5)(2t+3)2 = 3(2t+3)；

(6)(3-y)2+y2 = 9；

(7)(1+)x2-(1-)x = 0；

(8)x2-(5+1)x+= 0；

(9) 2x2-8x = 7(精确到0.01)；(10)(x+5)2-2(x+5)-8=0。

5.解关于x的方程:

(1)x2-4ax+3 a2 = 1-2a；(2)x2+5x+k2 = 2kx+5k+6；

(3)x2-2mx-8 m2 = 0；(4)x2+(2m+1)x+m2+m=0。

6.给定x2+3xy-4y2 = 0 (y ≠ 0)，试求数值。

7.已知(x2+y2)(x2-1+y2)-12 = 0。求x2+y2的值。

请用三种方法解方程:x (x+12) = 864。

9.给定x2+3x+5的值为9，试求3x2+9x-2的值。

10.一名跳水运动员从高度为10米的跳台跳水。他跳下的高度H(单位:米)和时间t(单位:秒)的关系是H =-5 (t-2) (t+1)。求潜水员跳入水中所用的时间。

11.解方程(x2-1) 2-5 (x2-1)+4 = 0，我们可以把x2-1看成一个整体，然后让x2-1 = y，那么y2 =

当y = 1，x2-1 = 1，x2 = 2，∴ x =+

当y = 4时，x2-1 = 4，x2 = 5，∴ x =+

原方程的解是x1 =-，x2 =，x3 =-，x4 =。

上述方法称为代换法，达到了降阶的目的，体现了变换的思想。

(1)用上面的方法解方程:x4-3x2-4 = 0。

(2)既然X2-1可以看作一个整体，那么可以直接用因式分解来解这个方程吗？

参考答案

同步大纲练习

1.1)B(2)C(3)D(4)D(5)B(6)A(7)A(8)D

2.(1)t1=-7，t2=4(2)x1=-，x2=-2(3)y1=-1，y2=- (4)x1=-m，x2=-n(5)x1=，x2=-1

3.(1)x1=0，x2 =-12；(2)x1=-，x2 =；(3)x1=0，x2 = 7；(4)x1=7，x2 =-3；(5)x1=-5，x2 = 3；(6)x1=-1，x2 =；

(7)x1=，x2 =-；(8)x1=8，x2=-2。

4.(1)x1=1，x2 = 3；(2)x1=18，x2 =-14；(3)x1=，x2 =；(4)x1=3，x2 =-1；

(5)t1=0，T2 =-；(6)y1=0，y2 = 3；(7)x1=0，x2 = 2-3；

(8)x1=，x2 =；(9)x1≈7.24，x2 =-3.24；(10)x1=-1，x2=-7。

5.(1)x2-4ax+4a 2 = a2-2a+1，

(x-2a)2=(a-1)2，

∴x-2a= (a-1)，

∴x1=3a-1,x2=a+1.

(2)x2+(5-2k)x+k2-5k-6=0，

x2+(5-2k)x+(k+1)(k-6)=0，

〔x-(k+1)ऄx-(k-6)अ= 0，

∴x1=k+1,x2=(k-6).

(3)x2-2mx+m2=9m2，(x-m)2=(3m)2

∴x1=4m,x2=-2m？

(4)x2+(2m+1)x+m(m+1)= 0，

(x+m)〔x+(m+1)〕=0，

∴x1=-m,x2=-m-1？

6.(x+4y)(x-y)=0，

X =-4y或x = y

当x =-4y时，=；

当x = y时，= = 0。

7.(x2+y2)(x2+y2-1)-12 = 0，

(x2+y2)2-(x2+y2)-12=0，

(x2+y2-4)(x2+y2+3)=0，

∴ X2+Y2 = 4还是X2+Y2 =-3(不含)？

8.x1=-36，x2=24？

9.∵x2+3x+5=9,∴x2+3x=4，

∴3x2+9x-2=3(x2+3x)-2=3×4-2=10？

10.10 =-5(t-2)(t+1)，∴ t = 1 (t = 0)

11.(1)x1=-2，x2=2？

(2)(x2-2)(x2-5)=0，

(x+ )(x- )(x+ )(x- )=0？

这是我在网上找的一个教案，希望对你有用~ ~ ~因式分解其实很简单，关键是多接触。