高考:函数与极限定理(二)？

6.函数的连续性:设函数y=f(x)定义在点x0的一个邻域内。如果函数f(x)的极限在x→x0时存在，且等于其在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称之为函数f(x0)。

不连续情况:1，在x=x0点未定义；2.虽然定义在x=x0，但lim(x→x0)f(x)不存在；3.虽然定义了x=x0且lim(x→x0)f(x)存在，但当lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时，称函数在x0处不连续或不连续。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限和右极限都存在，则称为函数f(x)的第一类间断点(如果左右极限相等，则称为断头点，如果不相等，则称为跳跃间断点)。任何不是第一类不连续的不连续称为第二类不连续(无限不连续和振荡不连续)。

定理在某一点连续的有限个函数的和、积、商(分母不为0)是在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)单调递增或递减且在区间Ix内连续，那么它的反函数x=f(y)单调递增或递减且在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}内连续。反三角函数在其定义域内都是连续的。

定理(最大值定理和最小值定理)在闭区间上连续的函数在这个区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内是连续的，或者在闭区间内有不连续点，那么函数在这个区间内不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数必定在该区间上有界，即m ≤ f(x) ≤ m .定理(零点定理)假设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，f(a)和f(b)的符号不同(即f(a)×f(b)。

由此推断，在闭区间上连续的函数必定获得最大值m和最小值m之间的任意值。

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