高中数学竞赛序列10题应急解法

1.递归公式:a(n+1)=a(n)+3b(n)，b(n+1)=a(n)+b(n)。设a(n)/b(n)=k，则a(n+1)/b(n+1)=(k+3)/(k+1)，直接表达式为:k = (k+3)/(。证明了若p(n)=a(n)/b(n)，则P(n+1)=(P(n)+3)/(P(n)+1)，且(P(n)+√3)/可用不动点法求得。

2.q=1/2，分子是14d？设q=a/b，表示14b？/(a？+ab+b？)是整数，因为b？还有(a？+ab+b？)互质，所以(a？+ab+b？)是14的除数，加在一起就行了。

3.提出log2(n)，原公式为=(n+2)log2(1+2/n)-2(n+1)log2(1+1/n)。

= 1/ln(2)*((n+2)*(2/n)-2(n+1)(1/n))= 0，最后一步是泰勒展开，经过计算机验证，结果正确。

4.归纳证明

5.(1)直接数学归纳法，利用f(x)=x+1/x的增减区间，√ (2n+2)-√ 2n = 2/(√ (2n+2)+√ 2n)，证明很容易；2+1/(2n+C)和级数1/(2n+C)之和是无穷大，根本没有上界C，这是直接矛盾。

6.(1)将原递归公式展开为(2a(n+1)-7a(n))？=45a(n)？-36，得到一个(n+1)？-7a(n+1)a(n)+a(n)？+9=0，a(n)=(7a(n+1)-√( 45a(n+1)？-36))/2，所以a(n-1)=(7a(n)-√(45a(n)？-36))/2，所以a(n+1)+a(n-1)=7a(n)。(2)直接公式，a(n+1)a(n)-1 =(3a(n)+√( 5a(n)？-4))?/4。

7.通过直接求级数的通项公式，可以证明an+a(n+1)+2为((3+√5)/2)(n-1)+((3-√5)/2)(n-1)。

8.(1)很容易。(2)归纳证明一个& gtN/(n+1)就够了，很容易证明，因为连1-1/(3n+1)都可以估计>:an & gt1-1/(3n).

9.1-2(x+y)/(1+x)(1+y)=(1-x)(1-y)/(1+x)(。

10.实际上是1/A1+1/A2+...+1/An+1A2...An = 1，所以An =

码字难，加分。