解决一类立体几何问题
1.求或作二面角的平面角。
二面角可以用它的平面角来度量，求二面角的问题往往需要变换。
求二面角的平面角。
1.定义方法:
根据定义，二面角边缘上的点或两个半平面上的点作为边缘的垂直线，从而获得
二面角的平面角。
例1众所周知，在从一点开始的三条光线PA、PB和PC中，
∠ APB =∠ BPC =∠ CPA = 60，求二面角B-PA-C的大小.
解法:在PA上找任意一点D(不同于P点)，在平面APB上过D。
让DE⊥PA在e中穿过PB，让d在APC平面中穿过DF⊥PA。
PC与F相交，根据二面角的平面角定义∠EDF为。
二面角B-PA-C的平面角，设，在Rt△PDF中，
∠ DPF = 60，∠ PDF = 90，则可以得到相同的结果。
在△EPF中，PF=PE=2a，∠ EPF = 60，则EF=2a。因此，在△EDF中。
所以二面角B-PA-C的大小是。
2.平行线法:
如果问题中没有给出二面角的棱，有时可以利用平行线求出棱，从而求出二面角。
的平面角。
例2在图示的三维图形中，PA垂直于正方形ABCD，
如果pa = ab = a，求平面PAB和平面PCD形成的二面角。
解:PQ ‖ AB。ABCD，
∴ PQ‖CD，PQ平面PCD。∴平面PAB∩平面PCD
= PQ。PA ⊥ AB，AB‖PQ，∴ PA ⊥ PQ。∵啪⊥平
表面ABCD，光盘⊥广告。∴光盘⊥警察。* pq‖CD，∴ PD ⊥ PQ。∴ APD是由平面PAB和平面PCD形成的平面角。PA =
也就是说，由平面PAB和平面PCD形成的二面角是45°。
3.扩展平面法；
还可以利用平面的延伸找到二面角的边，从而得到二面角的平面角。
例3中，边长为1的立方体AC 1中，E为AA1。
求曲面DEB1与曲面ABCD形成的二面角。
解决方法:将B1E和BA延伸到点f，连接DF。
那么DF就是二面角的边。∫e是AA1的中间值。
点，∴AE是∴fa=1,fa‖dc rt△b 1fb的中线，
∴四边形FACD是平行四边形，∴ FD ‖ AC。
连接BD，∵BD⊥AC，∴ FD ⊥ BD。又因为B1D⊥AC，∴B1D⊥FD，∴∠在立方体AC1。
。
即曲面DEB1与曲面ABCD形成的二面角为。
4.三垂线定理及其逆定理方法；
根据三重垂直定理或其逆定理，将相交面上的一点视为另一面的垂直线段，然后计算二面角的平面角。
例4如图所示，Rt△ABC已知，斜边BC在平面α内，A点不在平面α内。AB和AC分别与平面α成30°和45°角，所以求△ABC。
由平面和平面α形成的锐角的大小。
解:设a是α平面上o点的AO⊥α。
设OD⊥BC在d中，连接AD，这是由三条垂线定理得到的。
西元前⊥。∴ ∠ ADO是二面角的平面角，
甚至BO和co .分别是∠ABO和∠ACO。
AC与平面α之间的角度。设AO=a，而在Rt△ABO中，
∫∠ABO = 30，∴AB=2a.在Rt△ACO中，∫∠ACO = 45，.在Rt△ABC，.
即△ABC的平面与α成60°角。
5.垂直表面法:
根据垂直线与平面的判断、性质定理和平面角的定义，过一点的垂直面为一条边或
二面角的平面角可以通过二面角中的一点与两个表面的垂线相交为一个平面来获得。
例5已知二面角α-β中一点P到两个面的距离为和，到边的距离为2，求这个二面角的大小。
解决方案:P分别用于PC和PD。
直对平面α和β，C和D是垂直的脚，
然后设置PC和PD。
确定的平面PCD与O、和点相交。
那么，不要让α和β与光线OA和OB相交
C∈OA，D ∈ OB。* PC⊥α，∴PC⊥，同样PD ⊥.∴⊥平面PCD。⊥·∴⊥oa。
从图中可以看出∠ AOB = ∠ POC+∠ POD = 105，或者∠AOB = 180-(∠POC-∠POD)= 165。
因此，二面角α-β为105或165。
2.不作二面角的平面角，用常用公式间接求。
1.使用投影面积公式:。已知平面α上面积为s的图在
平面β上的投影面积为，平面α和β所成的角为θ，则。
例6是正三棱镜ABC-A1B1C1。底部的边长是A，边长是2a，D是AA1的中点。求△BDC1与底△ABC形成的二面角。
解:在正三棱柱ABC- A1B1C1中，
∫△ABC是△BDC1在底部ABC上的投影。
设△ABC和△BDC1的面积分别为。
二面角是∴.在等腰三角形BDC 1中，
即△BDC1与底部ABC形成的二面角为。
2.异面直线上两点间距离的公式:ef =。
如果在两个半平面上画两条垂直于边的直线，这两条直线所成的角(或其余角)就是二面角的平面角，可以用上面的公式求出。
例7如图所示，直三棱柱ABC- A1B1C1的边长为1，底面的边长AC=BC=1，AC⊥BC，求二面角b-ab–c的大小.
解:CD⊥AB1在∵ac⊥bc d的c上，
BB1⊥面ABC，∴AC⊥BB1，∴AC⊥面BB1C1C，
∴AC⊥CB1，在Rt△ACB1，B1C=，AC=1，
∴ CD =。在b之后，BE⊥AB在e，∴DE在另一架飞机上。
直线BE和CD之间的距离。在Rt△ABB1中，be
=，∴AD=B1E=，∴德=。用不同的平面设定一条直线。
若BE与CD的夹角为θ，则θ(或其余角)为二面角b-ab 1–c的平面角，根据公式，∴cosθ=，∴θ= 60°。
即二面角B-AB1-C为60°。
3.三面角中的正弦公式和余弦公式。
给定三条射线OA，OB，OC，∠BOC=α，∠COA=β，∠AOB=γ，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B分别为α，β，γ，则有:
① ② .
应用上述公式的关键是找出以对边为边的三面角和二面角的几个相关平面角之间的对应关系。
例8如图，平面M⊥平面n在CD中，点A∈平面m，点B∈平面n，线段AB与平面m成45°角，AB与n成30°角，
AB=2，AC⊥CD在c，BD⊥CD在d
解1:∫平面M⊥平面n在CD，AC⊥CD，AC。
平面m，∴AC⊥平面n在c，∴∠ABC是AB和n
角度∴∠ABC = 30°，Rt△ABC中的∫和AB=2，
∴AC=1，公元前。同理，∠ Bad = 45，BD=，
CD = 1。注意以AB和AD为边的二面角分别为θ和α。
∵BD⊥平面m，∴平面BDA⊥平面CDA，∴二面角B-AD-C为90°，即sinα=1。在三面角A-CBD中，三面角的正弦公式，
即二面角A-PB-C为。
解2:如上，我们可以得到，，，在三角形A-CBD中，三角形的余弦公式为:
即二面角A-PB-C为。
3.用向量运算的方法求二面角的平面角。
1.平面的方向向量的夹角就是二面角的平面角。二面角被转换成由二面角的两个面的方向向量(垂直于二面角的边并且在二面角的平面中指向该方向的向量)形成的角度。
例9求二面角A-PB-C如图9 PA⊥平面ABC，AC⊥AB，PA=AC=1，BC=。
解:如图，建立一个空间直角坐标系C-xyz，
取PB的中点d，接DC证明DC⊥PB.
e中的AE⊥PB，则矢量夹角的大小。
是二面角a-Pb-C的大小因为a (1，0，0)，
B(0，，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，
d是PB的中点，所以，
也就是可以求出e点的比值，所以=，=，|| =，。
所以二面角A-PB-C的大小是。
2.二面角的两个面的法向量的夹角(或其余角)就是二面角的平面角，二面角换算成两个面的法向量所成的角或其余角。
例10如图10所示，在一个直角梯形底的四角锥S-ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，.
求平面SCD和平面SBA形成的二面角。
求解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
然后，。平面SAB
法向量为n1= =，平面SCD的法向量为
N2 = (x，y，z)。∵，∴ N2 = 0，N2 = 0，即设x=2，y=-1，Z = 1。∴ N2 =。设二面角为θ。
即平面SCD与平面SBA形成的二面角为。