几何综合与实践试题
从运动的角度探索几何图形的变化规律称为动态几何题，由此产生的动态几何试题是研究。在几何图形的运动中，图形位置和数量关系有一定的“变”和“不变”试题。就运动物体而言，有一点运动、直线运动、面运动，就其运动形式而言，有平移、旋转、折叠、滚动。
动态几何试题灵活多变，动静结合，能在运动变化的过程中发展学生的空间想象力和综合分析能力，成为近年来中考的热点。这里以2006年和2007年中考试题为例，对动态几何题进行分类分析。
问题1:点动式
点动式是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上设计一个或几个运动点，研究这些点在运动变化过程中产生的等价关系、变量关系、图形的特殊状态以及图形之间的特殊关系。
1.单动点式
例1(2007年辽宁省十二市)如图所示，已知在等边三角形ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，M是直线BC上的动点，△DMN是等边三角形(当点M的位置变化时，△DMN也整体移动)。
(1)如图①，当M点在B点左侧时，请判断en与MF的数量关系。f点是否在直线NE上？请直接写结论，无需证明或解释；
(2)如图②所示，当M点在BC上时，其他条件不变。(1)的结论中en和MF的数量关系是否仍然成立？如果有，请用图②证明；如果没有，请说明原因；
(3)若M点在C点的右边，请在图③中画出相应的图形，判断(1)结论中en与MF的数量关系是否仍然成立？如果成立呢？请直接写结论，不用证明，不用解释。
习题1(福州市，2007)如图所示，直线AC‖BD，连线AB，直线AC，BD，线段AB将平面分为四部分，规定线上各点不属于任何部分。当动点P落在某一部分时，连接PA和PB形成∠PAC。
(1)当动点p落在第一部分时，证明:∠APB =∠PAC+∠PBD；
(2)当动点p落在第二部分时∠APB =∠PAC +∠PBD成立吗(直接回答是或否)？
(3)当动点P落在第三部分时，充分探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，写出动点的具体位置和相应的结论。选择其中一个结论来证明。
练习2(绵阳市，2006)在正方形ABCD中，p点是CD上的一个移动点，连接PA，分别经过b点和d点为BE⊥PA和DF⊥PA，脚步分别为e和f，如图①所示。
(1)请探究BE、DF、EF三条线段长度之间的数量关系。如果P点在DC的延长线上(图②)，这三条线段的长度有什么数量关系？P点在CD的延长线上怎么办(如图③)？请直接写结论；
(2)请从(1)中的三个结论中选择一个来证明。
解决这类动点几何问题常采用“类比发现法”，即通过观察比较两个或几个相似的数学研究对象之间的异同，从一个容易探究的研究对象的性质入手，猜测另一个或几个相似图形的相似性质，进而得出相关结论。类比发现法大致可以遵循以下步骤:(1)根据已知条件，从动态的角度分析观察可能出现的情况。(2)结合相应图形，以静制动，利用所学知识(如三角形同余、三角形相似等)得出相关结论。).(3)用类比的方法猜测其他情况下图形的性质。
2.双动点型
例2(2007年听哈尔滨)如图1所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，AF平分线∠BAC，BD相交于f点.
(1)验证:；
(2)点C1从点C开始，沿线段CB移动到点B(与点B不重合)。同时，A1点从A点出发，沿BA的延长线移动，速度相同。当移动点停止移动时，另一个移动点A1也停止移动。如图2，A1F655。在点F1穿越BD，穿越点f 1E1⊥a 1c 1，竖脚是e 1，请猜E1F1和AB之间的数。
(3)在(2)的条件下，当A65438+E1 = 3，C65438+E1 = 2时，求BD的长度。
3.多动点型
例3(眉山市，2006)如下所示:∠ mON = 90°，在∠MON内部有一个正方形AOCD，A点和C点分别在射线OM和ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON内部做了一个正方形AB 1C 65438。
(1)连接D1D，验证:∞∠add 1 = 90；；
(2)连接CC1，猜猜看∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；
(3)取ON上任意一点B2，以AB2为边，在∠MON内做一个正方形AB2C2D2，观察图形，结合(1)和(2)的结论，请再次做出合理判断。
演习(宜昌市，2007)如图1所示。在△ABC中，AB = BC = 5，AC=6。△ECD是将△ABC沿BC方向平移，连接AE，AC和BE在o点相交得到的.
(1)判断什么是四边形ABCE，并说明理由；
(2)如图2所示，p是BC线上的一个动点(图2)，(与b点和c点不重合)，连接PO并在q点延伸交线AE，QR⊥BD，垂足为r点.
①四边形PQED的面积是否随P点的移动而变化？如果有，请说明原因；如果没有，求四边形PQED的面积；
②当线段BP的长度为什么值时，△PQR与△BOC相似吗？
通过上面的例子可以发现，双动点问题可以转化为单动点问题，关键是抓住决定整个问题的关键动点，从而转化问题。
问题2:线型
1.行转换类型
例4(乐山市，2007)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD = 10。当直角尺的直角顶点P在AD上滑动(P点与A、D点不重合)时，直角边过C点，另一条直角边AB与e点相交，我们知道结论是“RT △ AEP ∽”。
(1)当∠ CPD = 30时，求AE的长度；
(2)是否存在这样一个点P，使得△DPC的周长等于△AEP周长的两倍？如果存在，找出DP的长度；如果不存在，请说明原因。
2.线旋转类型
例5(衡阳市，2006)已知:如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，对角线AC和BD相交于点o，绕点o顺时针旋转直线AC，BC和AD分别相交于点e和f。
(1)证明当旋转角度为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)试说明在旋转过程中，线段AF和EC始终保持相等；
(3)四边形BEDF在旋转过程中可能是菱形的吗？如果没有，请说明原因；如果有，说明原因，找出此时AC绕O点顺时针旋转的度数。
直线运动的本质是点动，即点动带动直线运动，然后会产生表面运动。因此，直线运动的几何问题可以转化为点动问题来解决。解决这类问题的关键是把握图形运动变化的全过程，把握它们之间的相等关系和变量关系。从图形的运动变化到特殊位置，可以探索出一般结论或从中得到启示。这种由特殊到一般的思想对于我们解决运动变化问题极其重要。
问题3:图形图形的运动变换有三种基本变换:平移、旋转和折叠。主要是改变给定图形(或其一部分)的位置，然后分析新图形中图形之间的关系。这类问题往往结合探究和存在来考察学生的实践能力、观察能力、探索和实践能力。
1.图形翻译类型
例6(河北，2007) ABC，AB=AC，在g点与BA的延长线相交.如图1放置一把等腰直角的三角尺，三角尺的直角顶点为f，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边刚好过b点.
(1)在图1中，请通过观察和测量BF和CG的长度，猜测并写出BF和CG的数量关系，然后证明你的猜测；
(2)当三角尺沿交流方向平移到图2所示位置时，一条直角边仍与交流边在同一直线上，另一条直角边在d点与BC边相交，交点d为e点的DE⊥BA，此时请通过观察和测量DE、DF、CG的长度，猜测并写出DE+DF与CG的定量关系，然后证明自己的猜测；
(3)当三角尺在(2)的基础上继续沿AC方向平移到图3所示位置时(F点在线段AC上，F点与C点不重合)，(2)中的猜想还成立吗？(无需解释原因)
图形的平移本质上是直线的平移，会产生相似的图形，所以解决这类问题的关键思想就是通过相似性得到待解量之间的关系。本题目是以三角形为背景设计的题目。在求解的时候，一定要了解三角形的特点，以降低求解的难度。通过求解也可以看出，三角形通过适当的操作，可以改变中考中很多精彩的数学题，这类题在近两年的中考中频频出现。
2.图形旋转类型
例7(临沂市，2007年)
如图1，已知在△ABC中，AB = BC = 1，∠ ABC = 90。将一个角度为30°的三角形deF的直角顶点D放在AC的中点上(三角形的短直角边为DE，长直角边为DF)，绕点D逆时针旋转直角三角形DEF .
(1)在图1中，DE在M中与AB交叉，DF在n中与BC交叉.
①证明DM = DN
②在这个过程中，直角三角形DEF和△ABC的重叠部分是一个四边形DMBN。请解释一下四边形DMBN的面积有没有变化？如果有，请解释如何？如果不变，计算其面积；
⑵继续旋转到如图2所示的位置，延伸AB交点DE到M，BC交点DF到N，DM = DN是否仍然有效？如果有，请给出证明；如果没有，请说明原因；
(3)继续旋转到如图3所示的位置，FD跨BC到N，ED跨AB到M，DM = DN是否仍然成立？如果有，请写一个没有证明的结论。
习题1(常德市，2006)将两个全等的直角三角形ABC和DEF叠在一起，使三角形DEF的锐角顶点D与三角形ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC =∠DEF = 90°，∠C =∠F = 45°，AB = DE。
(1)如图1所示，很容易证明射线DF通过B点时△ APD ∽△ CDQ，即Q点与B点重合，此时AP CQ =；
(2)从图9所示的位置绕o点逆时针旋转三角形DEF，设旋转角度为α，其中0 <α< 90°，问AP CQ的值是否有变化。说明你的理由；
(3)在(2)的条件下，设CQ=x，两块三角形板的重叠面积为y，求y与x的函数关系(图2、图3为解题用)。
练习2(紫阳，2007)如图1所示，已知p是正方形ABCD对角线AC上的一点(与a和c不重合)，PE⊥BC在e点，PF⊥CD在f点.
(1)验证:BP = DP
(2)如图2所示，如果四边形PECF绕C点逆时针旋转，旋转过程中是否始终存在BP=DP？如果有，请给出证明；如果没有，请用反例说明；
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点相连，使四边形PECF绕C点逆时针旋转时，两个线段的长度始终相等，证明你的结论。
习题3(扬州市，2007)如图所示，正方形ABCD绕A点逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD相交于o点.
(1)以标有字母的点为终点连接两条线段(正方形的对角线除外)，要求连接的两条线段相交且互相垂直，并说明两条线段互相垂直的原因；
(2)如果正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形AEOD)的面积为，求旋转角n .
解:(1)我连接的两条相交垂直的线段是_ _ _ _ _和_ _ _ _ _。
原因如下:
图的旋转本质上是线的旋转，也可以通过抓住旋转图和不变图的交集，转化为动点问题来解决。
3.图形折叠型
例8(济宁市，2007)如图所示，先将一张长方形的ABCD纸对折，折痕设为MN，再将B点叠加在折痕线上，得到△ABE。纸在B点折叠后，D点叠加在直线AD上，得到折痕PQ。
(1)验证:△PBE∽△QAB；
(2)你觉得△PBE和△裴相似吗？如果相似，给出证明；如果不是，请说明原因；
(3)如果纸沿直线EB折叠，A点能否重叠在直线EC上？为什么？
习题1(孝感市，2007)在我们学过的数学课本中，有一个数学活动，它的具体操作过程是:
第一步:将长方形的纸ABCD对折，使AD和BC重叠，得到折痕EF，将纸展开(如图1)；
第二步:再次对折纸张，使A点落在EF上，折痕经过B点，得到折痕BM和线段BN(如图2)。
图1图2
请回答以下问题:
(1)如图1，如果MN穿过BC到P，那么△BMP是什么三角形？请证明你的结论；
(2)在图2中，如果AB=a，BC=b，A和B满足什么关系，那么满足(1)中结论的三角形纸BMP可以从矩形纸ABCD中切割出来？
(3)设矩形ABCD的边为AB=2，BC=4，建立如图3所示的直角坐标系。设直线BM’为y=kx，当∠m’BC = 60°时，求k的值，此时沿BM’折叠△ABM’，A点是否落在EF (e，f分别为。为什么？
图3
习题2(泰州市，2007)如图所示，四边形OABC是一张矩形的纸，放在平面直角坐标系中，点A在X轴上，点C在Y轴上。折叠BC边，使B点落在OA边的D点上。折痕是已知的。
(1)判断△OCD和△ADE是否相似？请说明理由；
(2)求直线CE与X轴的交点p的坐标；
(3)是否有直线L通过D点，使得直线L、直线CE和X轴围成的三角形类似于直线L、直线CE和Y轴围成的三角形？如果存在，请直接写出它的解析式，画出相应的直线；如果不存在，请说明原因。
图形折叠实际上是一种轴对称变换，变换前后对应的线段和对应的角度相等。常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形高度有关。解决旋转、平移、折叠等动态几何问题的关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的知识，找出图形运动过程中的不变量。
例9(义乌，2007)如图1，小明将一张长方形的纸对角切开，得到两张三角形的纸(图2)，测得它们的斜边长为10cm，较小的锐角为30°。然后，将两张三角形的纸按图3所示的形状摆放，但B、C、F、D点在同一条直线上，C点与另外两张三角形的纸在同一直线上。
图1图2图3
小明在下面对这两张三角纸的运算中遇到了三个问题。请帮他解决。
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4中的位置，使B点与F点重合，请找出平移距离；
(2)将图3中的△ABF绕F点顺时针旋转30度到图5中的位置，A1F与G点相交，求线段FG的长度；
(3)沿直线AF将图3中的△ABF折叠到图6中的位置，AB1与H点相交，请证明:ah = DH。
图4图5图6
本题目是围绕图形折叠、平移、旋转设计的综合题。既考查学生对折叠、平移、旋转性质的掌握，三角形同余的判断和性质，又考查学生的综合应用能力。
解决体育试题，需要从运动变化的角度去观察和研究图形，把握图形运动变化的全过程，把握它们之间的相等关系和变量关系，特别注意一些不变量和不变量关系或特殊关系。