高中数学衍生题

f'(x)=a(1-2/x)-1/x^2+2/x^3

=(1-2/x)(a-1/x^2)

=(x-2)(ax^2-1)/x^3.

(1)a & lt；=0 ax 2-1

x & gt2当f' (x) < 0时，f(x)是减函数。

a & gt在0处，ax 2-1 = a(x+1/√a)(x-1/√a)，用序数轴标记法已知。

I) x >当a = 1/4时；2小时f'(x)>0，f(x)是增函数；0 & ltx & lt2当f' (x) < 0时，f(x)是减函数；

ii)0 & lt；a & lt0 < at 1/4；x & lt2或x & gtF' (x)在1/√a >: 0，f(x)是增函数，

2 & ltx & ltF' (x)在1/√a < 0，f(x)是减函数；

iii)a & gt；0 < at 1/4；x & lt1/√a或x & gt2小时f'(x)>0，f(x)是增函数，

1/√a & lt；x & lt2当f' (x) < 0时，f(x)是减函数。

(2)f(x)有两个零:

I)a & lt；当=0时，f(2)= a(2-2ln 2)+1/4 >；0,

so-1/(8-8ln 2)< a & lt；=0;

ii)a & gt；当f(2)> 0时；0,

f(1/√a)= a(1/√a+lna)+√a-a & lt；0,

也就是2+√ alna-√ a

设u=√a，g(u)=2+2ulnu-u，

g'(u)=2lnu+1=0，u0=1/√e，

g(u)>= g(u0)= 2-2/√e & gt；0,

所以①无解，f(x)没有两个零。

综上所述，-1/(8-8ln 2)< a & lt；=0。