希尔伯特的23个问题是什么？

1874年，康托尔推测可数集基数和实数集基数之间不存在其他基数，即著名的连续统假说。1938年，旅居美国的奥地利数学逻辑学家哥德尔证明了连续统假说和ZF集合论的公理体系之间并不矛盾。1963年，美国数学家P.Choen证明了连续统假设和ZF公理是相互独立的。因此，连续统假说不能被ZF公理所证明。从这个意义上说，问题已经解决了。

(2)算术公理系统不矛盾。

欧几里得几何的不矛盾可以归结为算术公理的不矛盾。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论的方法来证明，但哥德尔在1931发表的不完全性定理否定了它。gnc(G . genta en，1909-1945)1936利用超限归纳法证明了算术公理系统的不矛盾性。

(3)仅根据契约公理无法证明两个等底、等高的四面体体积相等。

问题的意义是有两个高度相等的四面体，不能分解成有限个小四面体，使两个四面体全等(M. DEHN)已在1900中解决。

(4)以直线作为两点间最短距离问题。

这个问题比较笼统。有许多几何图形满足该属性，因此需要一些限制。1973年，苏联数学家波格列夫宣布在对称距离条件下解决了这个问题。

(5)拓扑成为李群(拓扑群)的条件。

这个问题简称为连续群的解析性质，即是否每个局部欧氏群都一定是李群。1952由格里森、蒙哥马利和齐宾解决。1953，日本的山脉秀彦得到了一个完全正的结果。

(6)在数学中起重要作用的物理学公理化。

1933年，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫公理化了概率论。后来，他在量子力学和量子场论方面取得了成功。然而，许多人对物理学的所有分支是否都可以完全公理化存有疑虑。

(7)一些数的超越性证明。

证明:如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么α β一定是超越数或者至少是无理数(例如2√2和eπ)。苏联的gel fond(1929)，德国的Schneider和Siegel(1935)独立证明了其正确性。但是超越数的理论还远未完成。目前没有统一的方法来确定给定数是否超过数。

(8)素数分布问题，特别是对于黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数* * *。

素数是一个非常古老的研究领域。希尔伯特在这里提到了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数。黎曼猜想至今未解。哥德巴赫猜想和孪生素数问题目前还没有最终解决，最好的结果属于中国数学家陈景润。

(9)任意数域中一般互易定律的证明。

1921基本由日本高木贤治解决，1927基本由德国E.Artin解决。然而，范畴理论仍在发展。

(10)能否通过有限步判断不定方程是否有有理整数解？

求整系数方程的整数根称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。1950前后，戴维斯、普特南、罗宾逊等美国数学家取得了关键突破。在1970中，Baker和Feros对含有两个未知数的方程作出了肯定的结论。1970.苏联数学家马蒂·塞维克(Marty Sevic)最终证明，总的来说，答案是否定的，尽管结果是否定的，但它产生了一系列有价值的副产品，其中许多都与计算机科学密切相关。

(11)代数数域中的二次型理论。

德国数学家哈塞和西格尔在20世纪20年代取得了重要成果。20世纪60年代，法国数学家A.Weil取得了新的进展。

(12)类域的组成。

即把阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任何代数有理域。这个问题只有一些零星的结果，远没有完全解决。

(13)二元连续函数组合解七次一般代数方程的不可能性。

方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根取决于三个参数A、B和C；x=x(a，b，c).这个函数可以用一个二元函数来表示吗？这个问题即将得到解决。1957年苏联数学家阿诺德证明了任何在[0，1]上连续的实函数f(x1，x2，x3)都可以写成∑ hi (ξi (x1，x2)，x3)的形式(I .安德雷·柯尔莫哥洛夫证明了f(x1，x2，x3)可以写成∑ hi (ξ i1 (x1)在1964中，Vituskin推广到了连续可微的情况，但解析函数的情况没有解决。

(14)某些完备函数系的有限证明。

即多项式fi (I = 1，...，Xn)，其中R是由有理函数F(X1，...，Xm)和f .日本数学家永田正芳在1959中用漂亮的反例给出了这个与代数不变量有关的问题的否定解。

(15)舒伯特计数微积分的严格基础。

一个典型的问题是:三维空间有四条直线。有多少条直线能与所有四条直线相交？舒伯特给出了直观的解决方案。希尔伯特要求将问题一般化，并给出严格的依据。现在有一些可计算的方法，与代数几何密切相关。但是严格的基础还没有建立起来。

(16)代数曲线曲面的拓扑研究。

这个问题的前半部分涉及代数曲线中闭分支曲线的最大数。后半部分要求讨论dx/dy=Y/X的极限环的最大个数N(n)和相对位置，其中X和Y是X和Y的N次多项式，对于n=2(即二次系统)的情况，1934，Froxianer得到N(2)≥1；1952中，宝婷得到n(2)≥3；1955年，苏联的波德洛夫斯基宣称n(2)≤3，这是震惊了一阵子的结果，却因为一些引理被否定而遭到质疑。关于相对位置，中国数学家和叶在1957中证明了(E2)不超过两个字符串。在1957中，中国数学家秦元勋、蒲福进给出了一个具体的例子，n = 2的方程至少有三个级数极限环。在1978中，在秦元勋和华的指导下，中国的石松龄和王分别给出了至少四个极限环的具体例子。在1983中，秦元勋进一步证明了二次系统至多有四个极限环，结构为(1，3)，从而最终解决了二次微分方程解的结构问题，为研究希尔伯特问题(16)提供了新的途径。

(17)半正定形式的平方和表示。

有理函数f (x1，...，xn)对于任何数组(x1，...，xn)。是否确定F可以写成有理函数的平方和？1927 Atin已经明确解决。

(18)用全等多面体构造空间。

德国数学家别伯巴奇(1910)和莱因哈特(1928)做了部分解答。

(19)正则变分问题的解总是解析函数吗？

德国数学家伯恩特因(1929)和苏联数学家彼得罗夫斯基(1939)已经解决了这个问题。

(20)研究一般边值问题。

这个问题进展很快，已经成为数学的一大分支。前几天还在研究开发。

(21)具有给定奇点和单值群的Fuchs类线性微分方程解的存在性证明。

这个问题属于线性常微分方程的大规模理论。希尔伯特本人分别在1905和H.Rohrl在1957获得了重要结果。65438-0970年的法国数学家德利涅贡献突出。

(22)用自守函数化单值解析函数。

这个问题涉及到困难的黎曼曲面理论。在1907中，P.Koebe解决了一个变例，使这一问题的研究取得了重要突破。其他方面没有解决。

(23)开展变分法的研究。

这不是一个清晰的数学问题。变分法在20世纪有了很大的发展。