第五堂数学课——“方程解旅行问题”
用方程解旅行问题是人教版五年级上册第五单元解简单方程的收尾部分。在此之前，学生已经学习了方程的意义和解方程的方法，以及用方程解题的和差次数。学生以前接触过一个物体的运动过程。这节课将带领学生探索两个物体的运动过程。
教室设计
1，例如1
(1)遇到问题:小林每分钟骑250m，小云每分钟骑200m。小林家和小云家相距4.5km。周日早上九点，他们骑着自行车从家里出发。他们什么时候见面的？
(2)追尾问题:快车和慢车分别从A和哔哩哔哩出发，相距120 km，行驶方向相同。快车时速80公里，慢车时速40公里。快车要几个小时才能赶上慢车？
2.(请两位同学上台演示活动1并说明为什么这样锻炼，其他同学补充。)
？罗:“我这么理解。小林的速度是每分钟250m，小云的速度是每分钟200m，4.5km，这是他们两家的距离。他们9点钟离开家，开始步行。朝相反的方向走意味着面对面地走，直到他们相遇。”
生:“最重要的是他们锻炼的时间一样！”"
(学生演示活动2并解释他们为什么这样锻炼，其他学生补充)
梓:“肯定是快车追慢车。”
芮:“你赶不上慢车，所以快车的起点在慢车后面。”
"他们正朝着同一个方向前进。"
？请用图画来表现物体的运动过程，并独立完成。
(有同学画了线图):
(例1第一道(1)小题是学生画画)
(有同学画了直方图):
(例1第一道(1)小题是学生画画)
有的同学利用之前学过的直方图模型，在脑海中构建总量和各部分的关系，问题中的信息也大致用图表表达出来。
(例1第二节学生绘画)
？卡罗尔:“我用一个三角形来表示他们开始的地方和相遇的地方，然后表示他们的速度。”
？朴:“他还用箭头指示他们的移动方向。”
永迫不及待地补充道:“可以用小旗子标明集合地点。”
板块三，用线段图找等价关系
分析示例(1):
方法1
罗:“小林的速度×时间=小林的距离，小云的速度×时间=小云的距离，两者之间的距离就是总距离。”
老师:“有没有同学能告诉我罗求出的等价关系是什么？”
？小:“小林的距离+小云的距离=总距离”
方法2
永:“我算出它们每分钟移动的总距离，就是250+200，它们每分钟移动450米。”
老师:“250+200是多少？”
生:“每分钟* * *行的总距离”
？学生补充道:“速度和”
老师:“这个分析对吗？有没有同学能简明扼要地概括一下等价关系？”
？生:“(小林的速度+小云的速度)×时间=总距离”
盛补充道:“速度和时间=总距离”
？肖:“其实雍和罗一个是正向思维，一个是逆向思维。但它们都使用相同的等价关系。”
分析示例(2):
生:“我分别标明快车和慢车的起点，用小旗子标明他们追上的地方。”
此时，学生在网上的线段图中用手画出快车的起点和终点，其他学生迅速找到快车的距离。
老师？:“我找到了快车的距离。你能在线段图里找到慢车的距离吗？”
生指出。
老师:“除了快车和慢车行驶的距离，还有一个已知量是什么？”
？生:“追赶的距离”
老师:“通过线段图可以看出这三个量之间是什么样的关系？”
生:“你可以在线段图里找到总数量和各部分数量。”
芮:“快车的距离-慢车的距离=追赶的距离”
老师:“有同学用其他数量关系吗？”
芮:“我假设慢车等于停在原地，快车的速度减去慢车的速度就是快车的速度。”
老师:“他什么意思？有人能再给其他同学解释一下吗？”
辛:“原来快车的速度是80公里/小时，慢车是40公里/小时，现在假设慢车不动，快车是80-40 = 40公里/小时”
老师:“瑞说的很清楚，昕一下子就明白了，昕又重复的很清楚。”但是我有个问题，快车减去慢车速度是多少？"
？生:“速差”
老师:“瑞与勇的数量关系怎么表达？”
贾:“速差×时间=距离”
学生在演示中感知物体的方向和轨迹，从而成功地构建了旅行问题的基本模型，再加以提炼，就能很快找到总量和各部分的关系。对比发现，相遇和追赶的问题主要在于它们运动的方向，以及它们运动的距离与原距离之间关系的变化。这节课，我们将重点突破相遇的问题。
(老师用PPt演示总结):
旅行问题中通常有几个量:
他们的关系是:
(这节课将详细探讨相遇的问题。)
(小组讨论，代表发言)
老师:“用线段图找到等价关系后，我们怎么办？”
生:“求未知量。”
老师:“那你能找出谁是未知数吗？”
生:“从图中可以看出，小林和小云的运动时间是未知的，因为距离=速度×时间，而速度是已知的，他们的运动时间是相同的，所以只要知道运动时间就需要知道两个人的距离。”
老师:“分析完未知量我们该怎么办？”
生:“解决方案”
老师:“设置什么？”
？生:“假设他们运动x分钟后相遇。”
老师:“根据罗的数量关系(小林的距离+小云的距离=总距离)，我们可以列出什么样的方程？”
健康:“250x+200x=4500”
(学生独立解方程，测试和回答，老师不赘述)
？老师:“这里要注意什么？直接回答10分钟？”
生:“问什么时候，几点了？”
生:“加上出发时间和运动时间。”
老师:“如何根据平庸的定量关系(速度和x时间=距离)做一个方程？”
生:“(250+200)x=4500”
老师:“还有别的办法吗？”
盛补充道:“也可以把距离除以速度之和等于时间，然后利用方程的性质得到x=10，9点加10分就是开会时间。”
？老师:“这其实就是利用距离、速度、时间的数量关系来列方程，所以逆向思维很像公式法。当我们学习方程时，为了遇到未知量，可以直接把未知量带入解题，这样更方便。”
？老师:“既然我们已经查出了他们在这里相遇的时间，接下来你能不能把题目补上？”用求出的时间可以求出哪些量？"
？生1:“他们相遇时走了多少公里？”
生2:“我们认识的时候小云比小林少走了多少公里？”
师生* * *总结:用方程解决旅行问题的步骤；
(1)绘制线段图，建立模型。
(2)分析数量关系，求解未知量。
？(3)列方程并求解。
(4)测试和回答
此外，我们必须记住遇到问题的平等关系:
(1) A的距离+B的距离=总距离。
？(2)(速度A+速度B) ×时间=距离，即速度和×时间=距离。
巩固练习
？两列火车同时从相距570公里的两个地方出发。甲车每小时行驶110km，乙车每小时行驶80km。几个小时后，两辆车相遇了。
(自主完成，修正过程。要求:画线段，建模型。并行方程解题)
？颜:“我的方程是:110x+80x=570，解是x=3。”
？老师:“他还在上面表示了未知数时间。他列出的方程是基于什么数量关系？”
？生:“A车行驶的距离+B车行驶的距离=总距离”
变体练习
两地距离455公里。A、B两辆车同时离开两地，相向而行，3.5小时后会合。甲车每小时行驶68公里，乙车每小时行驶多少公里？
(独立完成)
综上所述，本课的原始设计是直接讲解两地相遇问题和追逐问题，分析各量之间的关系并求解，然后比较两种类型。但经过教学和研究，认为旅行问题是解题中的一个复杂题型，无法保证学生在同一节课中完全掌握。所以，要想让学生更好地解决问题，首先要把重点放在遇到的问题上。但是，如果要对相遇问题和追逐问题进行直观的比较，可以先让学生遇到问题，然后在学生用线图进行论证和比较后，让课程以相遇问题为重点，而不需要对追逐问题进行深入的分析。因此，本节课堂设计改变后的思路主要分为以下几个步骤:①通过学生情境演示，让学生浪漫地感知生活中的出行问题；②学生用自己的方法画图形，分析物体的运动方向和轨迹，直观感知数学中的旅行问题，建立模型；(3)教师用PPT演示总结，用线图构建数学模型；④从线段图中快速找出等价关系(即总量与各部分量的关系)。要解决这样的问题，首先需要在脑海中构建一个模型。折线图和直方图都是直观的辅助工具。利用好这些工具，可以找出行程问题中距离、速度和时间的关系，然后通过灵活处理数量关系，不断巩固练习和变式练习，获得解题能力。