如何通过定点求空间向量的平面法向量
武雪伟嵩明县第一中学
导读:本课介绍了求平面法向量的三种方法，总结了平面法向量在高中立体几何中的应用。其中重点介绍了用外积法求平面法向量的方法，因为这种方法优于内积法，特别是在求二面角的平面角方面。这种方法的引入，会使高考立体几何中求空间角度、距离、证明垂直度、证明平行度等问题的解答变得快速准确，所以每年，
首先，平面的法向量
1，定义:如果，那么这个向量叫做一个平面的法向量。一个平面的法向量* * *有两种(从方向上分)，有无数种。
2、平面法向量的求解
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设定平面的法向量[或，或]，求平面中任意两个不是* * *直线的向量。通过，你可以得到关于的方程，你可以通过解这个方程得到它们。
方法二:任一线性方程的图形都是平面；反之，任何平面的方程都是线性方程，称为平面的一般方程，其法向量；如果平面与三个坐标轴的交点为，如图所示，则平面方程为:，称为平面的截距方程，将其转化为通式即可得到其法向量。
方法三(外积法):设是空间中两个不平行的非零向量，其外积是一个长度等于(θ是它们之间的夹角，和)且都垂直于的向量。通常我们采用“右手定则”，即右手四指从的方向转动时，拇指所指的方向指定为的方向。
(注:1，二阶行列式:；2.右手法则。)
例1，已知，，
尝试(1): (2):
关键:(1)；
例2:如图1-1所示，在一个长为2的立方体中，
求平面AEF的法向量。
二、平面法向量的应用
1，求空间角度
(1).求直线与平面的夹角:如图2-1，设其为平面的法向量。
AB是平面的一条对角线，那么AB和平面
形成的角度为:
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)求平面角:设向量为平面的法向量，二面角的平面角为:
(图2-2)；
(图2-3)
如果两平面的法向量方向选择得当，法向量的夹角可以等于二面角的平面角。同意在图2-2中，方向为平面向外，平面向内；在图2-3中，的方向是平面内侧，的方向是平面内侧。只要我们用两个向量的叉积(简称“外积”，满足右手定则)使两个半平面的法向量向内向外，这两个半平面的法向量的夹角就是二面角的平面角。
2.找到空间距离
(1)，不同平面内直线间的距离:
方法说明:如图2-4所示，①做直线A和B的方向向量，
求a和b的法向量，即不同平面内直线a和b的公垂线的方向向量；
②取直线A和B上的A点和B点为向量；
(3)求向量在上的投影d，则不同平面上的直线A和B之间的距离为
，其中
(2)点到平面的距离:
方法说明:如图2-5所示，若B点是平面α外的点，则a点。
是平面α上的任意一点，平面的法向量为0，那么点P到。
平面α的距离公式为
(3)、直线与平面的距离:
方法说明:如图2-6所示，直线与平面的距离:
，哪里。是平面的法向量。
(4)平面之间的距离:
方法说明:如图2-7所示，两个平行平面之间的距离:
，哪里。是平面的法向量。
3.证明
(1).证明直线与平面垂直:图2-8中，方向是平面的法向量和直线A的方向向量，证明平面的法向量和直线的向量是* * *直线()。
(2)证明直线与平面平行:图2-9中，方向为平面的法向量和直线A的方向向量，证明平面的法向量垂直于直线的向量()。
(3)证明平面垂直:在图2-10中，是平面的法向量，证明两个平面的法向量垂直()
(4)证明平面平行:在图2-11中，方向是平面的法向量，而且是平面的法向量，证明两个平面的法向量是* * *线()。
三、高考试题新解法
1，(2005国一，18)(这个大题满分是12)
如图3-1所示，四角锥的底面P-ABCD为直角梯形，AB‖DC，底面ABCD，且PA = AD = DC = AB = 1，M为PB的中点。
㈠证据:表面PAD⊥表面pcd；
(二)求AC和PB形成的角；
(iii)找出由表面AMC和表面BMC形成的二面角。
解法:以A点为原点，分别以AD、AB、AP为X、Y、Z轴，建立直角坐标系A-xyz，如图。
设平面焊盘的法向量为
设平面PCD的法向量为
，即planar PAD planar PCD。
, ,
设AMC的法向量为。
还有，设平面PCD的法向量为。
。
AMC和BMC形成的二面角为。
2.(19题2006年云南省第一次考)(本题满分12)。
如图3-2所示，在长方体ABCD-a 1b 1c 1d 1中，
已知AB = AA1 = A，BC = A，M是AD的中点。
㈠核查:AD‖平面a 1BC；；
㈡核查:A1MC⊥飞机A1bd1飞机；
(iii)找出从点A到平面A1MC的距离。
解法:以D点为原点，分别以Da、DC、DD 1为X、Y、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz。
设平面A1BC的法向量为
再次，也就是公元//位面A1BC。
设平面A1MC的法向量为:
还有，设平面A1BD1的法向量为:
，即平面A1MC平面A1BD1。
设A点到平面A1MC的距离为d，
是平面A1MC的法向量，
还有，A点到平面A1MC的距离是:。
四、用空间向量解立体几何“三部曲”。
(1)，建立空间直角坐标系(利用已有的三条相互垂直的直线，注意已有的正、直条件，并综合运用相关几何知识，建立右手系)，用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面，将立体几何问题转化为向量问题；(转化为向量问题)
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系，以及它们之间的距离和夹角。(执行向量运算)
(3)将向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(回到图形的问题)