往年高中数学真题
1.该函数的最小值是(c)
A.0 B.1 C.2 D.3
[解决方案]因此，当
当且仅当上述方程相等，且这个方程有解，所以中的最小值为2。
2.设，如果，那么实数的范围是(d)
A.B. C. D。
[解决方案]因为有两个真正的根
, ,
所以它相当于and，也就是
而且，
获取解决方案。
3.甲乙双方打乒乓球时，约定胜一方得1分，负一方得0分，当其中一方比另一方多2分或已打满6局时，比赛停止。假设甲方每局获胜的概率为，乙方每局获胜的概率为，且每局的胜负是独立的，那么博弈停止时博弈次数的期望值为(B)。
A.B. C. D。
【解答1】根据题意，的所有可能值为2、4、6。
设每两局为一轮，则该局在该轮结束时停止的概率为
。
如果本回合结束游戏还将继续，甲乙双方必须在本回合各得一分。此时，这一轮的结果对下一轮比赛是否停止没有影响。
,
,
,
因此。
【解法二】根据题意，的所有可能值都是2，4，6。
顺序就是A赢第一局，B赢第二局。
通过独立和互不相容
,
,
,
因此。
4.若三个整边立方体的表面积之和(单位:cm)为564 cm2，则这三个立方体的体积之和为(A)。
A.764立方厘米或586立方厘米。
C.586立方厘米或564立方厘米深586立方厘米
【解法】如果这三个正方体的边长分别是，那么就有，而且可能是设定的，所以，因此，我们只能取9，8，7，6。
如果，那么，容易知道，并得到一套解决方案。
如果，那么，但是，因此还是5。如果，那么无解，如果，那么无解。这个时候，没有解决的办法。
如果有唯一的解决方案。
如果，那么，此时，因此，但是，因此，此时无解。
综上，* * *有两组解决方案或者。
体积为cm3或cm3。
5.方程的有理数解的个数是(b)
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
【解】如果，那么解就是或者。
如果有，就会获得。
耶德。②
用②代替③。
从①到③，简化。
很容易知道没有有理数根，所以从①和②得到是矛盾的，所以方程组* * *有两个有理数解或。
6.如果内角的对边是几何级数，则取值范围为
(三)
A.B.
C.D.
[解决方案]设置常用比率，然后，和
。
因此，只需要值的范围。
因为几何级数，最大的边只能是或，所以要形成一个三角形的三条边，需要且仅需要有一个不等式组。
也就是
解决
因此，所寻求的值的范围是。
二、填空(此题满分54分，每小题9分)
7.设，其中是实数，，，如果，则5。
【解决方法】从题意来看
,
因此，从…
8.然后，将最小值设置为。
[解决方案]
,
(1)，最小值时；
(2)当最小值为1时；
(3)、最小值时。
或者，的最小值不能是，
所以，解决，(放弃)。
9.如果将24个志愿名额分配给3所学校，则每所学校至少有一个名额，有222种不同的分配方式。
【解法一】用四根棍子之间的空隙代表三所学校，用代表名额。例如
意思是第一第二第三学校分别有418和2个名额。
如果把每一个“”和每一个“”都看作一个位置，因为左右两端必须是|”，不同的分配方式就相当于一种位置(两端不包括)被两个|”占据的“占据法”。
“每校至少一个名额”的划分，相当于在24个“”中，从23个缺口中选出两个缺口，插入“|”，所以有两种。
“每校至少一个名额”方法中“至少两校名额相同”的分配方法有31。
综上，符合条件的分布方式有253-31 = 222种。
【解法二】如果分配给三所学校的名额是0，那么每所学校至少有一个名额的分数就是一个不定方程。
。
的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，等于来自三个不同元素的21个元素的重新组合:
。
“每校至少一个名额”方法中“至少两校名额相同”的分配方法有31。
综上，符合条件的分布方式有253-31 = 222种。
10.设级数前几项之和满足:，则通项=。
【解决方案】，
即2
= ,
这就引出了2。
订单，()，
是的，所以，所以。
11.设函数定义在，如果且对于任何，满足。
，，那么=
【解决方案1】从题目的条件知道。
,
因此，有，因此
。
[解决方案2]那么，订单
,
,
也就是说，
因此，
它必须是一个周期为2的周期函数，
所以。
12.一个半径为1的球在内壁长为的正四面体容器中可以向各个方向自由运动，所以球永远不能碰到的容器内壁面积为。
【解法】如果答案是12，图1，考虑球被挤到角落的情况。设球的半径为//平面且与该点相切，则球的中心为正四面体的中心，垂足为中心。
因为
,
因此，因此。
记住此时球和曲面的切点是，相连的，那么
。
考虑到球与正四面体的一个曲面相切，就很容易知道球在曲面上最靠近边的切点的轨迹仍然是正三角形，记为例如答案12图2。记录正四面体。
的边长过长。
因为，有，小三角形的边长。
球接触不到表面的部分面积为(例如答案12图2中阴影部分)。
。
再次，所以
。
由对称性，和正四面体***4个面，所以球接触不到的容器内壁面积是***。
三、解题(此题满分60分，每小题20分)
13.已知函数的图像与直线只有三个交点，交点横坐标的最大值为，所以验证:
。
证件图像与直线的三个交点如答案13所示，在里面相切，切点为。
...5分
因为，，所以，那就是...10分。
因此
...15点
...20分
14.解决不等式
。
[解1]由，世界上还有增函数，所以原来的不等式等价于
。
即...5分。
分组分解
，…10积分
所以，
...15点
所以，这就是要么。
因此，原不等式解集为...20分。
[解2]由，世界上还有增函数，所以原来的不等式等价于
...5分
也就是
,
，…10积分
顺序，不等式是
,
显然它在世界上是递增函数，所以上述不等式等价于
，…15点
即解决方案(丢弃)，
因此，原不等式解集为...20分。
15.如图15，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内接，求面积的最小值。
【解套】套，不妨套。
直线方程:，
简化一下。
离圆心的距离是1，
,...5分
因此，
容易知道，上面的公式是简化的，
同样，也有...10分。
所以，那么，
。
因为它是抛物线上的一个点，如果有，那么
,...15点
因此
。
当，以上公式取等号，此时。
所以最小值是8。