如何解决一元线性方程的应用问题
其实一个方程就是一个有未知数的方程。用列方程解决实际问题，就是把实际问题中的一些定量关系用这种含有未知数的方程的形式表达出来。并且这个方程中的每一个公式都有自己的实际意义，分别代表了题目设置中某个对应过程的量或量的关系。因此，解决方程应用题的关键是“掌握基本量，找出等式关系”。
下面就一元一次方程中几个常见的应用问题逐一点评，供学生学习时参考。
1.旅行问题
旅行问题中有三个基本量:距离、时间和速度。关系为:①距离=速度×时间；②速度=；③时间=。
可以找到的等价关系有:距离关系、时间关系、速度关系。在不同的问题中，平等关系是灵活的。例如，在相遇问题中，距离常被用作相等关系，而在顺序问题中，时间常被用作相等关系，在导航问题中，速度常被用作相等关系。
航行问题是旅行问题的特例，它的速度在不同的情况下会发生变化:①顺水速度(风)=静水速度(无风)+水流速度(风速)；②水流(风)速度=静水(无风)速度-水流速度(风速)。由此可以得到航海问题中一个重要的等价关系:顺流(风)速度-海流速度(风速)=逆流(风)速度+海流速度(风速)=静水(无风)速度。
示例1。一支队伍长450米，以每分钟90米的速度前进。有人把东西从队尾拿到队头后，马上以每秒3米的速度回到队尾。来回要多长时间？
点评:这个问题其实分为两个过程:①从尾部到头部的过程是一个追赶过程，相当于最后一个人追上了前面的人；②从头回到尾的过程是一个相遇的过程，相当于从头走到尾与人相遇。
在追赶的过程中，如果追赶时间为x秒，队伍行进(即引领队伍)的速度为90 m/min =1.5 m/s，那么引领队伍的行驶距离为1.5m；如果追赶者的速度是3m/s，那么追赶者行进的距离是3x米。从追求问题中的对等关系“追求者的距离-被追求者的距离=原来相隔的距离”，有:
3x-1.5x=450 ∴x=300
在相遇的过程中，设相遇时间为y秒，队伍和回归者的速度没有变化，那么尾随者行进的距离为1.5y米，回归者行进的距离为3y米。根据相遇问题中的相等关系，“a走过的距离+b走过的距离=总距离”为3Y+1.5Y = 450 ∴.
因此，往返时间为x+y=300+100=400(秒)。
例2如果一辆车以每小时40km的速度从A行驶到B，那就晚点半个小时；如果以每小时45公里的速度行驶，那就提前了半个小时。求a和b之间的距离。
点评:我们通常称之为“优先问题”，比如先出发后到达，后出发先到达，快者早到，慢者晚到。这类问题主要考虑时间的多少，考察两者的时间关系，从时间间隔中找出相等的关系。在这个问题中，如果A和B之间的距离是x公里，速度是40公里/小时，时间是小时；速度为45 km/ h时，时间为小时，早到晚到间隔为1小时，所以有
- = 1 ∴ x = 360
例3一艘船行驶在A和B之间，顺流航行需要6个小时，逆流航行需要8个小时。目前已知的速度是每小时2公里。求a和b之间的距离。
备注:如果A和B之间的距离为x公里，则下游速度为公里/小时，上游速度为公里/小时。导航问题中的重要等价关系如下:
-2= +2 ∴ x = 96
2.工程问题
工程问题的基本量是:工作量、工作效率、工作时间。关系为:①工作量=工作效率×工作时间。②工作时间=，③工作效率=。
在工程问题中，总工作量一般被视为整体1。如果完成所有工作的时间为t，则工作效率为0。常见的等价关系有两种:①如果以工作量作为等价关系，则部分工作量之和=总工作量。(2)如果时间相等，完成同样工作的时间差=花费的时间。
在工程问题中，还需要注意的是，有些问题中的工作量是给了一个明确的量，不能看成是全部的1，工作效率也就是工作速度。
例4。甲方单独加工某个工件需要20天，乙方完成任务只需要10。现在要求他们在12天内完成任务。B需要工作多少天，A才能按期完成任务？
点评:把所有任务的工作量作为一个整体1，从甲乙双方单独完成的时间可以知道，甲方的工作效率是，乙方的工作效率是，假设乙方需要工作x天，甲方继续处理(12-x)天，乙方的工作量是，甲方的工作量是，根据题意是+= 1。
例5。收割一片麦田，每小时割4亩，预计几个小时就能割完。收割后使用新农具收割，工作效率提高到1.5倍。因此提前1小时完成。这片麦田有多少英亩？
备注:假设麦田有x亩，即总工作量为x亩，切换新工具前的作业效率为4亩/小时，预计收割x亩的时间为小时，收割亩的作业时间为/4=小时；使用新工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，切割剩余亩的时间为/6=小时，所以实际时间为(+)小时。按照问题的意思，“提前1小时完成”。
-(+)=1 ∴ x =36
例6。一个水池配有A、B、C三根水管，分别是进水管和排水管。A单独打开需要10小时，B单独打开需要6小时，C单独放电需要15小时。现在三根管子都开了，要多久才能灌满池子？
点评:根据题目设计，A、B、C的工作效率分别为，，-(进水管的工作效率视为正，排水管的效率记为负)。如果能在x小时内注满水池，则a、b、c的工作量分别为，，，三条水管的总工作量为1，其中+-= 1 ∴.
3.经济问题
与生活和生产实践相关的经济应用题是近年来中考数学创新题的突出类型。经济问题主要体现在三类:①销售利润，②优惠(促销)，③存贷款。这三类问题的基本量是不一样的。在寻找等式关系时，一定要联系实际生活情况进行思考，这样才能更好地理解问题的本质，正确地列出方程。
(1)销售利润。利润问题有四个基本量:成本(进价)、销售价(收入)、利润、利润率。基本关系如下:①利润=销售价格(收入)-成本(进价)-成本(进价)=销售价格(收入)-利润；(2)利润率=利润=成本(进价)×利润率。在有折扣的销售问题中，实际销售价格=标价×折扣率。在折扣问题上，购买价格总是相等的。
(2)优待(提拔)。日常生活中有很多促销活动，不同的购物(消费)方式可以获得不同的折扣。在这类问题中，一般从“在什么情况下效果是一样的”来分析。基于获得的值，测试大于它的数和小于它的数，以预测其变化趋势。
(3)存贷款问题。存贷款问题与日常生活息息相关，也是中考提出时可供选择的最佳问题场景之一。存贷款问题中有三个基本量:本金、利息和利息税，以及相关的利率、本金和利息之和、税率。关系如下:①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息之和(本息)=本金+利息-利息税。
例7。某店先在广州以15元每件的价格购买了10件某商品，后又去深圳以12.5元每件的价格购买了40件同样的商品。如果商店想在销售这种商品时获利12%，那么这种商品的售价应该是多少？
备注:如果销售价格为每件X元，则销售收入为(10+40)x元，而成本(进价)为(5×10+40×12.5)，利润率为12%，利润为(5×65438)。由关系式(1)
(10+40)x-(5×10+40×12.5)=(5×10+40×12.5)×12% ∴x=14.56
例8。某商品因季节变换，准备打折出售。如果打八五折卖，就赔25元，如果打九折卖，就赚20元。这种商品的价格是多少？
点评:设定价格X元，25%折扣价75% X，利润-25元，进价75% X-(-25)= 75% X+25；九折销售价90% x，利润20元，进价90% x-20。通过购买价格，有
75%x+25=90%x-20 ∴ x = 300
例9。李勇假期打工挣了工资，他立马存银行半年。年利率为2.16%。取款时扣除20%利息税。李勇的同学* * *拿到了504.32元的本息。李勇半年前存了多少钱？
评论:这个问题要求的未知数是本金。假设存款本金为X元，年利率为2.16%，分期期数为0.5年，则利息为0.5× 2.16% X，利息税为20 %× 0.5× 2.16% X，从存贷款问题看，关系③有X+0.5× 2.66。
示例10。一家服装店出售打折购物卡。用200元买了这张卡，就可以用这张卡在这家店买八折。什么情况下买卡购物划算？
点评:购物打折首先要考虑“什么情况下都一样”。假设购物X元买卡和不买卡的效果一样，买卡花费的金额是(200+80% x)元，不买卡花费的金额是X元，所以有
200+80%x = x ∴ x = 1000
当X > 1000时，例如x=2000，刷卡消费为:200+80% × 2000 = 1800(元)。
不买卡的成本是:2000元(元)。这个时候买张卡划算。
当x < 1000时，若x=800，则买卡支出为:200+80% × 800 = 840元。
不买卡的成本是:800元。这个时候买卡不划算。
4.溶液(混合物)问题
溶液(混合物)问题有四个基本量:溶质(纯物质)、溶剂(杂质)、溶液(混合物)、浓度(含量)。关系如下:①溶液=溶质+溶剂(混合物=纯物质+杂质)；②浓度= × 100% =× 100%纯度(含量)=×100% =×100%；③从① ②可以得到:溶质=浓度×溶液=浓度×(溶质+溶剂)。在溶液问题中，关键的量是“溶质”:“溶质不变”，混合前的溶质总量等于混合后的溶解质量，这是很多方程应用题中的主要等价关系。
示例11。将1000克80%酒精混合成60%酒精，某同学不加考虑加300克水。(1)试通过计算说明该同学是否加水过多？(2)20%的酒精，如果水不过量，应该加多少克？如果加水过多，95%的酒精需要加多少克？
点评:溶液问题的浓度变化有两种:稀释(通过加入溶剂或低浓度溶液来降低高浓度溶液的浓度)和增稠(通过蒸发溶剂、加入溶质、加入高浓度溶液来提高低浓度溶液的浓度)。在浓度变化过程中，主要把握溶质和溶剂两个关键量，用相关公式进行分析，就不难找到等式关系，列出方程式。
本题，(1)加水前，原液为1000g，浓度为80%，溶质(纯酒精)为1000×80% g；假设加入X克水后浓度为60%，溶液变成(1000+x)克，溶质(纯酒精)为(1000+X) × 60%克。加水前后溶质没有变化，为(1000+X)×60% = 1000×80%。
∴ x = > 300 ∴这个学生没有加太多的水。
(2)假设要加入y克浓度为20%的酒精。此时溶液总量为(1000+300+y)克，浓度为60%，溶质(纯酒精)为(1000+300+y)×60%；原两种溶液的浓度分别为1000× 80%和20% Y，混合前后溶解质量不变，(1000+300+y)×60% = 1000×80%+20%∴y = 5756；。
5.数字。
数字问题是一个常见的数学问题。一元线性方程应用中的数值问题多为整数，要注意位数、位数上的位数、数值之间的关系:任意数= ∑(位数×位重)，如两位数= 10a+b；三位数= 100a+10b+c .在解决数值问题时，要注意整体设置元素思想的应用。
示例12。对于三位数，三位数之和是17，第一百位上的数比第十位上的数大7，个位数上的数是第十位上的3倍。找到这个号码。
注释:设这十位数中的数是X，那么一位数中的数是3x，第一百位数中的数是(x+7)，三位数是100(x+7)+10x+3x。(x+7)+x+3x=17 ∴x=2.
∴100(x+7)+10x+3x=900+20+6=926
示例13。六位数的最高位数是1。如果把这个数移到个位数的右边，得到的数等于原数的三倍，所以求原数。
点评:六位数最高位上的数移至个位数后，后五位对应前移1位，即每一位上的数放大10倍，后五位可视为一个完整的未知数。设去掉最高位1后的五位数为X，则原数为10+x，移后数为10x+1，根据题意为10x+1=10+x。
∴x = 42857，原号码是142857。
6.分配和比例
分配和比例问题在日常生活中非常常见，如合理安排工人生产，按比例选择工程材料，调整人或货物的数量等。分配问题的关键是要搞清楚部分量、总量以及它们之间的关系。在分配问题上，主要考虑的是“总量不变”；在比例问题上，主要考虑总量和部分量的关系，或者说量和量的比例关系。
示例14。每个书架上都有几本书。如果你从B书架上拿100本书放在A书架上，A书架上的书比B书架上剩下的书多5倍，如果你从A书架上拿100本书放在B书架上，所有的书都相等。每个书架上有多少本书？
点评:这道题的难点是正确设置未知数，用一个包含该未知数的代数表达式来表示另一个书架上的书的数量。在分配问题中，分配的数量是相等的，即原方多出来的数量均分。根据题目“从A书架取100本书到B书架，两本书相等”可知，A书架比B书架多200本书，因此，如果B书架有X本书，则A书架有(x+200)本书..从B书架上取100本书放在A书架上，B书架上剩下的书是(X-100)，A书架上的书就变成了(x+200)+100。a书架上的书是b书架上的5倍，也就是b书架上的6倍，其中(x+200)+100 = 6(x-100)∴x = 180 x+200 = 380。
示例15。教室里有13灯和吊扇。已知每根电缆管有3个灯或2个吊扇，这样的电缆有5根。有多少室内灯？
评论:这是一个关于交换机线缆分布的问题。如果有x管，就有(13-x)吊扇，有管有吊扇。根据问题的意思，“* * *有五根线”，有+= 5 ∴ x = 9。
例16。一个车间的22名工人参与了一种螺母和螺钉的生产。每个人平均每天生产120个螺钉或200个螺母。一个螺丝要配两个螺母。生产螺丝螺母要分配多少工人才能让每天生产的产品刚好匹配？
点评:对于产品匹配(工人分配)问题，要根据产品的匹配关系(比例关系)正确找到它们之间的数量关系，根据相等关系列出方程式。本题有x个工人生产螺母，生产的螺母数量是200x，那么有(22-x)个人生产螺钉，生产的螺钉数量是120 (22-x)。从“一个螺丝需要两个螺母”，即“螺母的数量是螺丝的两倍”，就有200x = 2× 120 (22-x)。
∴x=12 22-x=10
示例17。地板砖厂的坯料是由粘土、沙子、石膏和水按25: 2: 1: 6的比例制成的。现在前三种材料已经称重，是5600公斤。要加多少公斤水搅拌？前三种材料的重量分别是多少公斤？
点评:解决比例问题的一般方法是根据比例设定未知数，根据问题设定中的等式关系列出方程来求解。本题四种毛坯的比例为25∶2∶1∶6，四种毛坯分别为25x、2x、x、6x kg，前三种毛坯为* * * 5600kg，有25x+2x+x=5600。
∴x = 200 25x = 5000 2x = 400 x = 200 6x = 1200
示例18。分若干个苹果给小朋友，每人有m个苹果和14个苹果，每人有9个苹果，所以最后一个人得到6个苹果。有多少人？
评论:这是一个分配问题。如果有X个孩子，每个人分m个苹果，有14个苹果，苹果总数是mx+14，每个人有9个苹果，最后一个人有6个苹果，所以苹果总数是9 (X-1)+6。苹果的总数保持不变，与
MX+14 = 9(x-1)+6∴x =∫x，m为整数∴ 9-M = 1 x = 17。
示例19。出口1吨猪肉可以换5吨钢材，7吨猪肉的价格等于4吨糖的价格。现在有288吨糖。出口这些糖能换多少吨钢材？
评论:这个问题可以转化成一个比例的问题。猪肉:钢材= 1: 5，猪肉:糖= 7: 4，猪肉:钢材:糖= 7: 35: 4，假设可以交换x吨钢材，X: 288 = 35: 4 ∴ X = 2620。
7.需要用中间(间接)未知数解决的问题
在一些应用问题中，通过设置直接未知数很难列出方程来求解，而根据问题中的条件设置间接未知数则比较容易列出方程，然后通过中间未知数得到结果。
例20。A、B、C、D四个数之和为43，A数乘以2乘以8，B数乘以3，C数乘以4，D数乘以5得到的四个数相等。找出数字A，B，C和d。
点评:这道题需要四个量，后面可以用方程求解。如果用一元线性方程求解，把某一个数设为未知数，其余的用未知数表示，是很麻烦的。这里a、b、c、d的变化得到的数相等，那么设这个相等的数为x，那么a为，b为，c为，d为，四个数之和为43，其中++= 43 ∴ X = 36。
∴ =14 =12 =9 =8
例21。某县中学足球联赛* *共有10轮(即每队需要10场)，其中赢1场得3分，平1场得1分，输1场得0分。向明中学足球队在本次联赛中比平局少输了三场，成绩是19分。向明中学这次联赛赢了几场？
点评:如果在这个问题中直接将胜数设置为未知数，则无法用未知数公式表示负的场次和平的场次，但可以通过设置平的或负的场次来表示胜数。因此，如果x域是平坦的，则为负X-3域，win 10-(X+X-3)域，即3[10-(x+x-3)]+x = 19∴x = 4∴666；。
8.设置不求(设置中间参数)的问题
在一些应用问题中，给定的已知条件不足以满足基本数量关系的需要，有些不需要求解。这时候我们可以设定这个量，把它当作一个已知条件，然后在计算中消去。这将有助于我们理解问题的本质。
例22:一艘船从重庆到上海需要5个昼夜，一艘船从上海航行到重庆需要7个昼夜。从重庆到上海放竹卡需要几个昼夜？(竹筏的速度就是水的速度)
解析:航海题要把握三个基本量:距离、速度、时间。一般有两个已知量求第三个未知量。在这个问题中，时间量是已知的，时间量也是求的，所以需要在距离和速度中设置一个中间参数来列出方程。本题考虑到距离不变，设两地距离为一公里，那么顺水速度为0，逆水速度为0，水的速度为x，则有-X =+X ∴ X =，重庆到上海的时间为y昼夜，则有X = A ∴ X = 35。
例23。一个学校的两个老师带几个学生去旅游，联系了两家同样标价的旅行社。经过协商，旅行社A的优惠条件是:1老师全部收取，其余按7.5折收取；B旅行社的优惠条件是:全体师生八折优惠。
(1)当学生人数等于多少时，旅行社A与旅行社B的收费是否相同？
(2)如果核算结果显示甲旅行社的优惠价格比乙旅行社便宜，那么学生人数是多少？
点评:本题中，两家旅行社的投标价格和学生人数都是未知数，都是做方程时不可或缺的基本量，但投标价格不需要求解。(1)中标价为a元，学生人数为x，a旅行社收费为a+0.75a(x+1)元，b旅行社收费为0.8a(x+2)元，A+0.75A (X+1) = 0.8A (X+2) ∴.
(2)如果学生人数为Y，旅行社收取a+0.75a(x+1)元，旅行社收取B 0.8a(x+2)元，则为0.8A(X+2)-[A+0.75 A(X+1)]=×0.8A。
其实只要你能看懂题目，知道题目告诉你什么，要求是什么，它们之间是什么关系，就能找出等价关系。具体书上都有例子，你先自己分析，再看他的分析。去做吧。
拜托，我会完成任务的！！)