2009年山东高考理科数学试题及答案。

理科生数学考试

本卷分为上册和下册两部分，共4页，满分150，考试时间120分钟。考试结束后，把这张纸和答题卡一起交回。

注意事项:

1.答题前，考生必须用0.5mm黑色签字笔在答题卡和试卷规定的位置填写自己的姓名、座位号、准考证号、县、系，并将准考证号条形码粘贴在答题卡规定的位置。

2.在选定第一册每道小题的答案后，用2B铅笔将答题卡上相应问题的答案标签涂黑。如果需要改，用橡皮擦擦干净，再选择其他答案标签。答案不能在试卷上回答。

3.卷二必须用0.5mm黑色签字笔在答题卡上每道题的答案区作答；不会在试卷上写字；如果需要改，先把原答案抽出来，再写新答案；不能用修正液、胶带纸、修正带，不按上述要求回答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案。答案要用文字写出来，证明过程或者微积分步骤。

参考公式:

圆柱体的体积公式是V=Sh，其中s是圆柱体的底面积，h是圆锥体的高度。

圆锥体的体积公式是V=，其中s是圆锥体的底面积，h是圆锥体的高度。

如果事件A和B互斥，那么P(A+B)= P(A)+P(B)；r如果事件A和B是独立的，那么P(AB)=P(A)P(B)。

事件A在一次试验中发生的概率是，那么事件A在独立重复试验中恰好发生两次的概率是:

第一卷(***60分)

一、选择题:这个大题是***12小题，每个小题5分，* * * 50分。每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

1.如果的值为()，则设置。

A.0 B.1 C.2 D.4

分析:∵，∴ ∴，所以选d

答案:d

命题:本题考查集合的并运算，通过观察得到相应的元素，从而得出答案。这个问题很简单。

2.复数等于()。

A.B. C. D。

2.分析:C.W.W.W.K.S.5.U.C.O.M

答案:c

命题:本题考查复数的除法运算。分子和分母都需要乘以分母的* * *轭复数，这样就可以把分母变成实数，把除法变成乘法进行运算。

3.将函数的图像向左平移个单位，再平移1个单位，得到的图像的分辨率函数为()。

A.B. C. D。

3.解析:将函数的图像向左移位个单位得到函数的图像，再向上移位1个单位，得到的图像的分辨率函数为0，所以选择b .

答案:b

命题立意:本题考查利用归纳公式和双角公式进行三角函数的图像平移和简化解析公式的基本知识和技巧，学习公式的变形。5.u.c.o.m

4.一个空间几何图形的三视图如图，所以该几何图形的体积是()。

A.B. C. D。

解析:空间几何由一个圆柱体和一个金字塔组成。

圆柱体底部半径为1，高度为2，体积为，金字塔底部。

边长为，高为，所以体积为。

所以这个几何体的体积是。

答案:c

命题立意:此题考查立体几何中的空间想象能力。

从这三视图中，我们可以准确地想象出空间的三维图景

计算几何图形的体积。

5.已知α和β代表两个不同的平面，m在平面α内。

一条直线，那么""就是""()

A.充分和不必要条件b .必要和不充分条件

C.充要条件d .既不是充分条件也不是必要条件

解析:从平面垂直于平面的判断定理我们知道，如果m在平面α内，

那么，直线不一定是反过来的。所以""是" " w.w.w.k.s.5.u.c.o.m的充要条件。

答案:b。

命题:本题主要考查立体几何中垂直关系的判断和充要条件的概念。

6.函数的形象大致是()。

解析:如果函数有意义，需要定义为，排除C和D，并且因为函数是减函数，所以选择A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m。

答案:a。

命题立意:此题考查函数的形象性和函数的性质，如定义域、值域、单调性等。这个问题的难点在于给定函数的复杂度，需要先变形，然后在定义域内考察其他性质。

7.设p是△ABC平面上的一点，则()

A.B. C. D。

解析:因为，P点是线段AC的中点，所以要选B。

答案:b。

命题:本题考查向量的加法运算和平行四边形法则。

你可以用图解。

8.一家工厂抽样检查了一批产品。右图基于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m抽检后。

产品净重(单位:克)数据绘制的频数分布直方图，其中产品

净重的范围是递增函数，如果方程f(x)= m(m >；0)区间内有四个不同的根，那么w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析:因为满足定义在R上的奇函数，所以，它是奇函数，所以函数像关于线对称且已知，所以函数是周期为8的周期函数，又因为它是区间内的增函数，所以它也是区间内的增函数。如图，则方程f(x)= m(m >；0)区间有四个不同的根，我们不妨假设它是对称已知的。

答案:-8

命题:本题综合考察函数的奇偶性和单调性。

对称性，周期性，用函数图像解方程问题，

用数形结合的思想和函数方程的思想来答题。

三、答题:这个大题***6分，***74分。

17.(此小题满分为12)设函数f (x) = cos (2x+)+sin x .

(1)求函数f(x)的最大最小正周期。

(2)设A，B，C为A，B，C的三个内角，若cosB=，C为锐角，求新浪。

解法:(1)f(x)=cos(2x+ )+sin x.=

所以函数f(x)的最大值就是最小正周期。5.u.c.o.m

(2) = =-，所以，因为C是锐角，

而且因为在ABC，cosB=，so，so w w w k s 5 . u c o m

。

命题:本题主要考察弦函数公式、双角公式、三角函数以及三角函数中三角关系的性质。

(18)(此小题满分为12)

如图，在正四棱柱A BCD-A B C D中，底部ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB = 4，BC = CD = 2，AA = 2，E，E，F分别为边AD，AA，AB的中点。

(1)证明:直线EE //平面FCC

(2)求二面角b-fc-c的余弦..5.u.c.o.m

解法一:(1)取ABCD-A B C D中A1B1的中点F1。

连接A1D，C1F1和CF1，因为AB=4，CD=2，而AB//CD，

所以CD=//A1F1，A1F1CD是平行四边形，所以CF1//A1D，

而且因为E和E分别是边AD和AA的中点，EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE //平面FCC。

(2)因为AB=4，BC=CD=2，F是边AB的中点，BF = BC = CF，△ BCF是正三角形。若取CF的中点o，则为OB⊥CF，又因为在直四棱柱ABCD-A B C D中，CC1⊥平面ABCD，所以若o相交，则在平面CC1F中作OP⊥C1F，垂足为p，BP相连，则∠OPB为二面角B-FC -C的平面角，其中△BCF为正三角形，而在Rt△CC1F中，△ OPF ∽。

在Rt△OPF，，，所以二面角B-FC -C的余弦为。

解2: (1)因为AB = 4，BC = CD = 2，F是边AB的中点，

所以BF=BC=CF，△BCF是正三角形，因为ABCD是

等腰梯形，所以∠ BAC = ∠ ABC = 60，取AF的中点m，

连接DM，然后DM⊥AB，所以DM⊥CD，

建立以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴的空间直角坐标系。

，那么d (0，0，0)，a(，-1，0)，f(，1，0)，c (0，2，0)，

C1 (0，2，2)，E (0，0)，E1 (-1，1)，所以，设平面CC1F的法向量为，所以，所以，所以直线EE //。

(2)设平面BFC1的法向量为，所以，取，那么，

，w . w . w . w . k . s . 5 . u . c . o . m

所以从图中可以看出，二面角B-FC -C是锐角，所以二面角B-FC -C的余弦为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

命题立意:本题主要考查正棱柱的概念、线与面关系的确定和二面角的计算、空间想象能力、推理和运算能力、应用向量知识解决问题的能力。

(19)(此小题满分为12)

某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投篮3次；A中每投一球得3分，B中每投一球得2分；如果前两次得分之和超过3分，则停止射击，否则第三次射击，某同学在A点的命中率为0.25，在B点的命中率为q，该同学选择先在A点射击一个球，后在B点射击，表示该同学射击训练后的总成绩。它的分发列表是

0 2 3 4 5

世界知识产权组织

0.03 p 1 P2 P3 P4

(1)求q的值；5.u.c.o.m

(2)求随机变量的数学期望e；

(3)试比较学生选择在B点投篮且得分超过3分的概率，和选择上述方式投篮超过3分的概率。

解法:(1)让学生投票给A处的事件A和B处的事件B，那么事件A和B相互独立，p (a) = 0.25，p (b) = q，。

根据分配表:=0 =0.03，因此q =0.8。

(2)当=2时，p1 = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.75 q ( )×2=1.5 q ( )=0.24

当=3时，P2 = =0.01，

当=4时，P3= =0.48，

当=5时，P4=

=0.24

所以随机变量的分布列表是

0 2 3 4 5

p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24

随机变量的数学期望

(3)学生选择射在B点且得分超过3分的概率为

；

该生选择(1)3分以上的概率为0.48+0.24=0.72。

从这个角度来看，同学们选择在B点出手，得分3分以上的概率很大。

命题:本题主要考察互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，运用概率知识解题的能力。

(20)(此小题满分为12)

几何级数{}的前n项之和为，已知对任意一点，为函数，为常数)。

(1)求r的值；

(11)当b=2时，记住

证明:对任何人来说，不平等是存在的。

解:因为对于任意一点，都是在具有常值函数的像上，所以，当，当，又因为{}是几何级数，所以公比是，

当b=2时，

那么，那么

让我们用数学归纳法来证明这个不等式。

①如果，左=，右=，因为，不等式成立。

(2)假设当不等式成立时，它成立。那么当，左边=

所以当，不等式也成立。

由①和②得到的不等式成立。

命题:本题主要考查几何级数的定义、通式、已知基本问题，用数学归纳法证明与自然数有关的命题，用标度法证明不等式。

(21)(此小题满分为12)

两个县A和B之间的距离是20公里。现拟在两县外直径为AB的半圆弧上选一点C建垃圾处理厂。其对城市的影响与所选地点到城市的距离有关。对城市A和B的总影响是城市A和B的影响之和，记住从C点到城市A的距离是x公里， 而在C地建设垃圾处理厂对A、B城市的总影响为y，统计调查显示垃圾处理厂对B城市的影响较大，对B城市的影响与选址到B城市距离的平方成反比，比例系数为k，垃圾处理厂建在的中点时，对A城市和B城市的总影响为0.065。

(1)表示y是x的函数；

(11)讨论(1)中函数的单调性，判断圆弧上是否存在一个点使这里建的垃圾处理厂对A市和B市的总影响最小？如果存在，求该点到城市A的距离；如果不存在，说明原因。

方案一:(1)如图，AC⊥BC

其中when，y=0.065，所以k=9。

所以y作为x的函数是

(2)，，所以，即当，即所以函数是单调递减函数，当，即所以函数是单调递增函数。所以当，也就是C点到A城的距离为时，函数有最小值。

方案二:(1)同上。

(2)设置、

然后，，所以

取“=”当且仅当。

证明了该函数在(0，160)处是减函数，在(160，400)处是增函数。

设置0

,

因为0；4×240×240

9m 1 m2 & lt；9×160×160所以，

所以函数在(0，160)处是减函数。

同样，函数是在(160，400)处的递增函数，设160

因为1600

所以，

所以函数在(160，400)处是增函数。

因此，当m=160时，函数y有最小值。

所以在弧线上有一个点可以最小化建在这里的垃圾处理厂对城市A和城市b的总影响。

命题:本题主要考查函数在实际问题中的应用，利用待定系数法求解分辨函数的能力，利用换元法和基本不等式考察函数的单调性。

(22)(此小题满分为14)

设一个椭圆e: (a，b >；0)经过M(2，)和N(，1)，其中o为坐标原点，

(I)找出椭圆e的方程式；

(II)有没有一个圆心在原点的圆，使得该圆与椭圆E的任意切线总有两个交点A和B？如果存在，写出圆的方程，求|AB |的范围。如果不存在，说明原因。

解:(1)因为椭圆e: (a，b >；0)在M(2，)和N(，1)之后，

所以椭圆e的方程求解如下

(2)假设有一个圆心在原点的圆，使圆与椭圆E的任意一条切线总有两个交点A和B，并假设圆的切线方程是通过解方程组得到的，即，

Delta =，也就是

为了作，就要作，就是这样，这样，这样，这样，就是，或者，因为直线是圆心在原点的圆的切线，圆的半径是，求圆是，这时，圆的所有切线都满足或者，切线的斜率不存在时，切线和椭圆的两个交点满足或者。综上，有一个圆心在原点的圆，使圆的任意切线都与或相交。

因为，

所以，

,

(1)何时

因为，因此，

所以，

所以取“=”当且仅当。

(2)当，。

③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，

综上所述，|AB |的取值范围是:

命题:本题属于探究是否存在的问题。主要考查椭圆标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，待定系数法解方程的方法。它可以用解方程的方法来研究相关的参数问题以及方程的根与系数之间的关系。