322道统考题

角谷猜想简介:考拉兹猜想，又称3N+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或锡拉丘兹猜想，是指对于每一个正整数，如果是奇数，则乘以3再加1，如果是偶数，则除以2，以此类推，最后可以得到1。取一个数比如n = 6，根据上面的公式，我们可以得到6→3→10→5→16→8→4→2→1。(最高步数是16，* *有七步)，比如n = 11。根据上面的公式，我们可以得到11→34→17→52→26→13。(最高步数为40，* * *有13步)如果n = 27，根据上面的公式得出:27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→324。+0→274→137→412→206→103→310→155→466→233 →700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→65438 +0336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276 →638→319→958→479→1438→719→2158→6543 8+0079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232 →4616→23 08→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10 →5→16→8→4→2→1。(最高步数是9232，* *有111步。)Koraz猜想，任何一个正整数经过上述计算步骤，最终都会得到1。注:与角谷猜想相反的是蝴蝶效应，初始值极小，会产生巨大的差异；而3x+1，无论误差有多大，都会自行恢复。二、逆向思维(1)角谷猜想是指任何一个自然数，如果是偶数，除以2，如果是奇数，乘以3，加上1。最后经过几次迭代，得到1。也就是说，无论怎么迭代，最终都会走向2n；除以2，最后的结果是1。只要迭代过程中有2的幂，问题就解决了。换句话说，第一级是2 n. (2)第二级是:所有奇数m乘以3再加上1后，返回:m 1 = (2 n-1)/3。也就是说，只要输入m1，就可以一步回到2 N。例如，当n=4时，m 1 = 5；3×5+1=16。或者:1+2 ^ 2 = 5。当n=6时；m 1 = 21；21×3+1=64。或者:5+2 ^ 4 = 21。当n=8时；m 1 = 85；85×3+1=256。或者:21+2 ^ 6 = 85。当n=10时；m 1 = 341；341×3+1=1024。或者:85+2 8 = 341。当n=12时；m 1 = 1365；1365×3+1=4096。或者341+2 10 = 1365。当n=12时；m 5461；5461×3+1=16384。即:m (x+1) = m (x)+2 n...；直到无穷大，因为我们已经知道定理:当n是偶数时，3 |(2n-1)；m(x+1)=m(x)+2^n。任意奇数进入后，M1 = 2 N-1)/3(有无限个M1 = (2 N-1)/3)的问题就解决了，一步就可以回到2 N。我们可以很容易地找到m1的任何大小。(3)、第三个层次是:从第一个可知有无穷多个奇数M 1 = (2 N-1)/3，任意奇数，只输入5；21;85;341;….。问题就解决了。我们仅以前5为例，能返回5的奇数为(5× 2 N-1)/3，如:(5×2 1-1)/3 = 3；3×3+1=10;10÷2=5。5×2^3-1)/3=13;13×3+1=40;40÷8=5。5×2^5-1)/3=53;53×3+1=160,160÷32=5。5×2^7-1)/3=213;213×3+1=640,640÷128=5。当n=奇数时，有解，有无穷多个M1 = (2 N-1)/3..即2 N | (3M1+1)。换句话说，只要输入M 1 = (2 N-1)/3的问题，就完全解决了。我们很容易找到任意大的m 1 = (2 n-1)/3。(3)，从而知道有无穷多个奇数可以返回到5，对于13，我们只能返回到13:有17；69;173;277;…;m(x+1)=m(x)+2^n×13。比如17=m2，17×3+1 = 52；52÷4=13。17+2^2×13=69;69×3+1=208;208÷16=13。69+2^4×13=277;277×3+1=832;832÷64=13。277+2^6×13=1109;1109×3+1=3328;3328÷256=13。1109+2^8×13=4437.；4437×3+1=13312;13312÷1024=13。……..。有无穷多个m (x+1) = m (x)+2 n × 13。他们可以回到13。只要回到问题上，问题就解决了。我们很容易找到任意大的m (x+1) = m (x)+2 n × 13。见下面的归纳图:(每列有无限个值，可以水平无限延伸，不重复)。比如右上角第一个数字是33，33× 3+1 = 100，100÷4 = 25；25×3+1=76,76÷4=19;19×3+1=58,58÷2=29;29×3+1=88,88÷8=11;11×3+1=34,34÷2=17;17×3+1=52,52÷4=13;13×3+1=40,40÷8=5;5×3+1=16,16÷16=1。图中的每一个数都可以回到终点2 n .例如:177。177×3+1=532,532÷4=133,133→25→19→29→11→17→13→5→2^n . 709×3+1 = 2128，2128÷16=133→25→19→29→11→17→13→5→2^n .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。无限数量的值返回到任何列，无限数量的值返回到任何行。显然，这样的程序可以无限期地继续下去。在任意自然数A中，(1) A .如果A是偶数，则除以2 B .如果A是奇数，则乘以3，再加上1，得到数B. (2)将B代入A，再执行(1)几个步骤后，数为1。这种猜测被称为角落猜测。斯图尔特·库尔茨；西蒙·亚诺什，《不确定性的。广义柯拉茨问题”，计算机科学系。芝加哥大学，2006年12月26日。

编辑这一段来证明一个错误。

证明角谷(3n+1)猜想最简单的方法是因为任何偶数都可以变成2 a或者奇数乘以2 b，前者不断除以2后一定是1，因为它们只有一个素数因子2。后者只能剩下奇数，我们可以把偶数放在一边。现在只剩下奇数了。我们假设一个奇数m，运算后变成3m+1。如果这个猜想是错误的，那么就有(3m+1)/2 c = m，m不等于1。我们来试试:当c = 1，3m+1 = 2m，，，m =-1，不符合就丢弃；当c = 2时，3m+1 = 4m，，，m = 1；不符合要求的，予以报废；当c = 3时，3m+1 = 8m，，，m = 0.2不符合要求的，予以报废；当c = 4时，3m+1 = 16m，，，m = 1/13，不符合则丢弃；…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

编辑本段错误分析

我不同意下面这个所谓的证明:“我们假设一个奇数m，它执行一个运算就变成3m+1。如果这个猜想是错误的，那么就有(3m+1)/2 c = m，m不等于1。我们来试试:当c = 1，3m+1 = 2m，，，m =-1，不符合就丢弃；当c = 2时，3m+1 = 4m，，，m = 1；不符合要求的，予以报废；当c = 3时，3m+1 = 8m，，，m = 0.2不符合要求的，予以报废；当c = 4时，3m+1 = 16m，，，m = 1/13，不符合则丢弃；。。。。。。可见，能推翻角古猜想的数只在1或以下的范围内，所以没有数能推翻这个猜想，所以这个猜想是正确的。”要知道方程(3m+1)/2 c = m左右M是不一样的。虽然两个M都是奇数，但是这个M不是另一个M！以上无非是说一个奇数乘以3加1一定能被2的n次方整除。当然N有多大要看实际情况。但是，这种表述是绝对错误的！不信你可以试试。如果你代入左边任意一个奇数M，右边的M大部分和左边的不一样。这个证明也有明显的不一致。前面假设了一个奇数M，但是后面得到了M = 0.2和M = 1/13的结果。这些是所谓的奇数吗？你连两个M都分不清，更别说证明了。不要再犯这种低级错误了，脚踏实地才是真的。

编辑这一段的程序实现

角谷猜想(冰雹序列)Java代码:/* * @ param int n，init number * @ param int len，列表长度，如果长度很长，可能内存不足* @ return list，list */public list

编辑本段时拐角和谷猜想的推广

角谷猜想也叫锡拉丘兹猜想。它的一个概括就是克拉茨问题。先简单说一下这个问题:从20世纪50年代开始，这样一个奇怪而有趣的数学问题在国际数学界广为流传:任意给定一个自然数X，如果是偶数，就转化为x/2，如果是奇数，就转化为3x+1。之后我们会继续改造号码。比如x=52，我们可以陆续得到20。20, 10, 5, 16, 8, 4,2,1.继续这样下去，会得到一个循环:(4，2，1)。尝试其他自然数，你会得到同样的结果。这叫做锡拉丘兹猜想。上面的变换，其实就是迭代下面的函数{x/2 (x为偶数)C(x)= 3x+1 (x为奇数)。问题是从任意自然数出发，对函数c进行有限次迭代，最终能否得到循环(4，2，1)，或者等价地，65438+。据说克拉茨在1950年举行的一次国际数学家大会上讲过，所以很多人称之为克拉茨问题。但是后来很多人独立发现了同样的问题。所以，也许是为了避免问题归属的争议，很多文献都称之为3x+1问题。克拉茨问题的吸引力在于，一旦C迭代过程中出现2的幂，问题就迎刃而解，2的幂有无穷多个。人们认为只要迭代过程足够长，2的幂问题就会以正的形式得到解决。正是这种信念，问题所到之处，都掀起了一股“3x+1问题”的热潮。大学和研究机构都不同程度地涉及到这个问题。许多数学家开始提供奖励，其中一些是500美元。有的是1，000英镑。日本东京大学的塔米伸夫测试了240约为1，654，38+0，000亿的自然数。2002年，莱文和维穆伦测试了5.6 * 6，543。没有找到反例。这个问题的含义如此清晰、明确和简单，以至于连小学生都能理解，这对20世纪许多伟大的数学家来说都是困难的。著名学者R.K.Guy在介绍这个世界难题时，甚至给它起了个标题“不要试图解决这些问题”。经过几十年的探索和研究，人们似乎接受了大数学家P.Erdos，有人提出3x+1问题应该是下一个费马问题。以下是我对克拉茨问题的初步研究结果，不过发现了一点规律，远未解决。克拉茨命题:设n∈N，且f(n)= n/2(若N为偶数)或3n+1(若N为奇数)。目前f1(n)表示f (n)，F2 (n) = f (f (n))...fk (n) = f (f)。设fm(n)=1。(以下称n/2为偶变换，3n+1为奇变换，第一个奇变换则为全变换)证明了克拉茨命题的引理1:若n=2m，则fm(n)=1 (m∈N)。设m=k时为真，那么当m=k+1时，Fk+1(n)= f(Fk(2k+1))= = f(2)= 2/2 = 1。证明一下。引理2:如果n = 1+4+42+43+。那么f(n)= 3n+1 = 4k+1 = 22k+2，因此f2k+3(n)=1。证明:证明显而易见，省略。引理3:如果n = 2m (4k+1-。然后就是fm+2k+3(n)=1。证明:省略号。定理1:集合O={X|X=2k-1，k∈N}对于变换f(X)是闭的。证明:对于任意自然数n，如果n=2m，那么我们来考虑奇数的情况，也就是集合o的情况，对于奇数，必须先进行奇变换，然后进行偶变换，所以对于奇数，必须进行全变换。为了直观起见，我们将奇数列及其全变换排列如下:k 123456789 101121314 15 16 65438+。0 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 2k-1 1 35 7 91 1 1 65438 93 95 97 99 101 1 3k-1 2 5 8 1 1 4 1 7 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 62 65 68 71 74 77 87 58 61 64 67 70 73 76 3 3k-1 2 5 8 1 1 1 4 1 7 20 23 26 29 32 35 38 4 3k-2 1 4 7 1 6 16 19 5 3k 6k-1返回第一行。下面几行是等差数列3k-2和3k-1交错排列。因为最后都变成奇数，所以集合O对于变换f(X)是封闭的。定理2:任意一个奇自然数经过几次变换都会变成1。证明:我们看到奇数经过所有变换变成3k。3k-1奇数中有一半在全变换后仍然成为3k-1奇数，而3k-1奇数中的另一半在除以2后成为3k-2奇数，3k-2奇数在全变换后成为3k-1奇数。换句话说，完全变换后不可能得到3k-2个奇数。因为对于其他偶数，经过几次偶数变换，还是要回到奇数的行列。我们首先证明奇数经过几次完全变换后必然在某一步变成偶数。设2a0-1是我们要研究的奇数，完全变换后就变成3a0-1，设它是奇数且等于2a1-1。2a1-1转化为3A1-1 = 2A2-1，3A2-1 = 2A3-1，...A2 = (3/2) A1，...ak = (3/2) AK-1。所以最后ak=(3/2)ka0。要使AK为整数，设a0=2kn，(n为奇数)...所以ak=3kn。然后从2a0开始。3 * 2kn-1->；32 * 2k-1n-1->；33 * 2k-2n-1->；...-& gt；3k+1n-1(偶数)。然后，我们证明了经过完全变换后变成偶数的奇数一定大于经过几次偶数变换后得到的奇数。设3k+1n-1=2mh (h为奇数)，我们将证明h；A+b，这个很明显。定义:在下文中，我们将上述从一个奇数到另一个奇数的连续全变换后接着连续偶数变换的过程称为变换链。然后我们证明一个奇数经过一个变换链得到的奇数不可能是变换链中的任何中间结果，包括第一个奇数。如果B(n)表示奇数N的变换次数，m是N变换后第一次遇到的其他奇数，则有定理3: B(n)=k+1+B(m)，其中k是满足3n+1=2km的非负整数。证明了n经过k次奇变换后再进行偶变换，并证明了例如B(15)= 2+B(23)= 2+2+B(35)= 2+2+B(53)= 2+2+2+5+1+B(5)= 2+2+2+2+2+本文研究了函数的迭代问题。在7月1932的笔记本里，他研究了这样一个函数:F(x)= 2x/3(如果x能被3整除或者(4x-1)/3(如果x能被3整除，1)或者(4x+1)/3(如果x能被3整除，2)，那么f (65438+)。F (6) = 4，F (7) = 9，F (8) = 11，F (9) = 6，...为了观察上面的迭代结果，我们把它们写成排列的形式:123456789...1325749 116 ...观察到x=2，3的F迭代产生x=4，5，6，7，9的循环(2，3)。4).下一步是迭代x=8。克拉茨在这里遇到了困难。他无法确定这种迭代是否会形成循环，也不知道对所有自然数进行迭代不仅会得到上述两个循环。还会有其他周期吗？后人把这个问题称为原克拉茨问题。现在人们更感兴趣的是它的逆问题:G(x)= 3x/2(如果x是偶数)或(3x+1)/4(如果x除以4，1)或(3x-1)/4。经过计算，得到了以下四个循环:(1)，(2，3)，(4，6，9，7，5)，(44，66，99，74，11，83，62。105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66, 44).g迭代中还能有其他循环吗？为了寻找其他循环，人们想到了以下巧妙的方法:由于G迭代，最后一项为前一项的3/2(当前项为偶数时)或近似3/4(当前项为奇数时)。例如，如果在G迭代中有一个循环，迭代的T项at将与S项as (t)一起重复

编辑本段中角猜测的深度范围

给定一个正整数n，如果n能被a整除，就变成n/a，如果能整除，就乘以b加c(即bn+c)。重复这个操作，经过有限的几步，一定能得到D吗？这个问题的答案只有三种:1不一定是2，不一定是3，以下都是某些情况——A = b = C = D = m II A = MB A = m b = 1 C =-1D = 0+0D = 03A = MB = C = D = 14A = 2B。1)五A = 2 B = 2m-1 C = 1D = 1六A = 2 B = C = D = 2 M-1 M是任意自然数的最简单情况:A = B = C = D = 2 A = 2 B = 8+0 C =-1D = 0M = 2时原标题只有五。据说国内很多人会证明原题，原题只是资料片的极小一部分。原标题只是资料片第五组数据建立的一个小特例。以上数据均有效，无反例。这个问题很短，但是蕴含了非常丰富的数学思想...需要用到的东西很多，那些定理和公式很完善，可以表达非常普遍的数学规律。这是一个数学问题，不是猜测，绝对正确。这个问题重在培养学生独立思考的能力。和逆向思维...其实这个问题很简单。不知道是否证明了上述情况的整体证明。第一步:(针对以上第五组数据)首先，构造一个2元函数。这个函数揭示了一个秘密:把所有不能被2整除的自然数转换成能被2整除的自然数。f (m，N)有A(对于上面第五组数据)f(m，N) = 2 m * (2n-1)五A = 2b = 2m-1c = 1d = 1用数学归纳法和除法因式分解自然数...证明:(2 (Mn)-65438。e是奇数m = 1a 1 =(1)m = 2 a2 =(1，5) m = 3a3 = (1，9，11)m = 4 a4 = 23)m = 5 A5 =(1，33，35，37，39) m=6 A6=(1，65.............................................................................................................................................................................