高考:中值定理与导数的应用(二)？

6.函数的极值

如果函数f(x)定义在区间(a，b)中，x0是(a，b)中的一个点，如果存在点x0的向心邻域，f(x)f(x0)对这个向心邻域中的任意一点成立，则称f(x0)是函数f(x)的一个极点。

函数取得极值的地方，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即导函数的极值点一定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0可导，在x0取得极值，则函数在x0的导数为零，即f'(x0)=0。定理(函数获得极值的第一个充分条件)设函数f(x)在x0的一个邻域内可导，f'(x0)=0。当x到x0右侧附近的值时，f'(x)总是负的，所以函数f(x)在x0处取最大值；(2)如果x取一个接近x0左边的值，f’(x)总是负的；当x到x0右侧附近的值时，f'(x)总是正的，所以函数f(x)在x0取最小值；(3)如果当x取x0左右两侧附近的值时，f'(x)总是正的或负的，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二个充分条件)设函数f(x)在x0处有二阶导数且f'(x0)=0，f' (x0) ≠ 0则:(1)当f' (x0) 0时，函数f(x)在x0处取得最小值。驻点可能是极值点，不是驻点也可能是极值点。

7.函数的凹凸性及其判断

设f(x)在区间Ix上连续。如果任意两点总有f[(x 1+x2)/2][f (x 1)+f(x 1)]/2，则称f(x)在区间Ix上。

设函数f(x)在闭区间[a，b]内连续且在开区间(a，b)内有一阶和二阶导数，则(1)如果f'' (x)在(a，b >；0，那么f(x)在闭区间[a，b]上的图是凹的；(2)如果(a，b)中的f″(x)

步骤(1)判断曲线的拐点(凹凸边界点)以找到f″(x)；(2)设f''(x)=0，在区间(a，b)求解此方程的实根；(3)对于在(2)中求解的每个实根x0，检查x0左侧和右侧的f''(x)的符号。如果f''(x)在x0的左右两边保持一定的符号，那么当两边的符号相反时，点(x0，f(x0))就是拐点。当两边符号相同时，点(x0)为拐点。

画函数时，如果函数有不连续点或导数不存在的点，这些点也要作为分支点。

如果你对专升本有疑问，不知道专升本考点内容如何总结，不知道专升本报名当地政策，点击底部咨询官网，免费获取复习资料:/xl/