高中导数压轴题下的延伸第三题怎么做

(1)求函数y=f(x)的零点个数；

(2)设g(x) = (ax 2+ax)/(f (x)+√ x)+lnx。若函数g (x)在(0，1/e)中有极值，求数A的值域；

(3)在(2)的条件下，对于任意t∈(1，+∞)和S ∈ (0，1)，证明:G (T)-G (S) > E+2-1/。

(1)解析:∫函数f (x) = x 3-x-√ x，其定义域为[0，+∞)。

F(0)=0，∴x=0是y=f(x)的一个零点；

当x > 0时，f (x) = x (x 2-1-1/√ x)，

设φ(x)= x ^ 2？1?1/√x，

φ' (x) = 2x+1/(2 √ x 3) > 0，∴φ(x)在(0，+∞)上单调递增。

∵ φ (1) =-1 < 0, φ (2) = 3-1/√ 2 > 0,

所以φ(x)在(1，2)中有一个零点，

∴y=f(x)在定义域中只有两个零；

(2)解析:g(x)=(ax ^ 2+ax)/(f(x)+√x)+lnx =(ax ^ 2+ax)/(x ^ 3-x)+lnx。

= ax(x+1)/[x(x+1)(x-1)]+lnx = lnx+a/(x-1)，

G(x)=lnx+a/(x-1)，其定义域为(0，1)∩(1，+∞)。

则g '(x)= 1/x-a/(x-1)2 =[x ^ 2-(2+a)x+1]/[x(x-1)2]，

设h (x) = x 2-(2+a) x+1，

使函数y=g(x)在(0，1/e)中有一个极值，那么h(x)=0有两个不同的根，x1，x2，

∴△ = (2+a) 2-4 > 0，得到a > 0或a

我们设0 < x1 < 1/e，

且∵x1x2=1，

∴0

∫h(0)= 1，那么只有h (1/e) < 0，也就是1/e ^ 2？(a+2)？1/e+1<0，

解是a > e+1/e-2，

∴实数a的值域为(e+1/e-2，+∞)；

(3)证明∵g(x)=lnx+a/(x-1)，其定义域为(0，1)∩(1，+∞)。

根据(2)，当x∈(0，x1)，g' (x) > 0时，g(x)单调增加，当x∈(x1，1)，g' (x)

(0，1)内∴y=g(x的最大值为g(x1)，即对于任意s∈(0，1)，g(s)≤g(x1)

当x∑(1，x2)，g' (x) < 0时，g(x)减小，当x∑(x2，+∞)，g' (x) > 0时，g(x)增大。

∴y=g(x)在(1，+∞)中的最小值是g(x2)，即当t∈(1，+∞)，g(t)≥g(x2)

由(2)可知，x1+x2=2+a，x1x2=1，

x 1∑(0，1/e)，x2∑(e，+∞)，

∵对于任意s∈(0，1)，t∈(1，+∞)，有g(s)≤g(x1)，g(t)≥g(x2)，

g(s)+ g(x2)≤g(x1)+g(t)

∴g(t)-g(s)≥g(x2)-g(x1)

g(x2)-g(x 1)= ln x2+a/(x2-1)-lnx 1-a/(x 1-1)

= ln(x2/x 1)+a/(x2-1)-a/(x 1-1)

=lnx2^2+x2-1/x2(x2>e)，

设k(x)= lnx 2+x-1/x = 2 lnx+x-1/x，

k'(x)=2/x+1+1/x^2>0，

∴k(x)在(e，+∞)中单调增加，

因此，k (x) > k (e) = 2+e-1/e，

∴g(t)-g(s)>e+2-1/e.