2009年全国2年综合卷物理最后一道大题

如图，P和Q是某一区域水平地面上的两点，石油储存在P正下方的一个球形区域，假设该区域周围的岩石均匀分布，密度为ρ。石油的密度远小于ρ，因此上述球形区域可视为空腔。没有这个空腔，这个区域的重力加速度(正常值)是沿着垂直方向的。当存在空洞时，该区域重力加速度的大小和方向会比正常情况略高。重力加速度在原坚固方向(即PO方向)的投影与正常值的偏差称为“重力加速度异常”。为了探明石油区的位置和石油储量，经常利用P点到附近的重力加速度异常现象。

(1)?设球形空腔体积为V，球心深度为D，远小于地球半径R，PQ=x求空腔引起的Q处重力加速度异常。

(2)?若在水平地面上半径L范围内发现，重力加速度异常值为δ和kδ，k >；1，而重力加速度异常的最大值出现在半径l的中心，如果这个异常是由于地下存在一个球形空洞引起的，试着求球心的深度和空洞的体积。

(1)逆向思维。如果岩石被填满，就会恢复到正常值，那么异常就是这部分岩石的重力造成的！

GMm/r^2=m△g,△g=GM/r^2

M是这部分岩石的质量，M=ρV，△ g = GM/r 2 = g ρ v/r 2。

r^2=d^2+x^2

重力加速度在原直线方向(即PO方向)的投影与正常值的偏差称为“重力加速度异常”

异常重力加速度△g'=△gsin∠PQO=△g*d/r

=gρvd/r^3=gρvd/[√(d^2+x^2)]^3=gρvd/(d^2+x^2)^(3/2).

(2)控制图:

重力加速度异常的最大值出现在半L的范围中心，那么重力加速度异常的最大值kδ在P点！最小值δ在Q点！PQ=x=L！

S=GρVd/(d^2+L^2)^(3/2)

X=0是最小值:kδ = gρ VD/(d 2) (3/2) = gρ V/d 2。

k=kδ/δ=[(d^2+l^2)^(3/2)]/d^3=[(d^2+l^2)/d^2]^(3/2)

=[1+(L/d)^2]^(3/2)

1+(l/d)^2=k^(2/3),l/d=√[k^(2/3)-1],d=l/√[k^(2/3)-1].

kS=GρV/d^2

v=kδd^2/gρ=kδl^2/gρ[k^(2/3)-1].