10典型例题掌握初中数学最重要的一道题:初中数学经典例题讲解

10典型例题掌握初中数学最大值问题

解决几何极大值问题的通常方法是两点之间的线段最短；

在直线外的一点与直线上所有点的连线中，垂直线最短；

三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取最大值)。

它是解决几何极大值问题的理论基础，根据不同的特点进行变换是解决极大值问题的关键。直接调用基本模型也是解决几何极大值问题的高效手段。

1.如图，点P是∠AOB中的一个固定点，点M和N分别在边OA和OB上移动。若∠AOB = 45°，OP =，则△PMN的周长的最小值为。

分析P关于OA，OB的对称点C，D，连接OC，OD。那么当M，N是CD和OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值就是CD的长度。根据对称性，可以证明△COD是等腰直角三角形，可以据此求解。解法:作对称点C，d .关于OA，OB连接P的OC。天啊。那么当m，n是CD和OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值就是CD的长度。∫PC关于OA对称，

∴∠COP =2∠AOP，OC =OP

同理，∠DOP =2∠BOP，OP =OD。

∴∠cod =∠COP+∠DOP = 2(∠AOP+∠bop)= 2∠AOB = 90，OC = OD。∴△鳕鱼是等腰直角三角形。然后是CD。

。

题后思考此题考查对称性的本质，正确作图，理解△PMN周长最小的条件。

2.如图，当四边形P ABN的周长最小时，a =

因为AB和PN的长度是固定的，所以求P A +NB的长度就够了。问题是P A +NB什么时候最短。

将B点向左平移2个单位至B点'；使B′为关于X轴的对称点B ″，连接AB ″,将X轴交叉到P，从而确定N点的位置。此时P A +NB最短。

设直线AB”的解析表达式为y =kx +b，用待定系数法求解直线的解析表达式即可得到a的值。

解法:将N点左移2个单位与P重合，将B点左移2个单位为B′(2，-1)，使B的对称点B ″关于X轴。根据实践，已知B ″ (2，1)，设直线AB ″的解析式为y =kx +b，

？1=2k +b？，k =4，b =-7。

-3=k +b？

777

∴ y = 4x 𕗘 7。当y =0时，x =，即p(，0)，a =..

444

七

因此，答案填写:

四

想想X轴的对称点，两点间最短的线段。

3.如图，A点和B点在一条直线的两侧，A点到直线的距离为AM =4，B点到直线的距离为BN =1，MN =4，P为直线上的动点，| P A-Pb |的最大值为。

解法:使点b在直线l的对称点b’处，连接ab’并延伸相交直线l在p处∴b’n = bn = 1

设d点为b′d⊥am，用勾股定理求ab′= 5 ∴|帕𔲃 Pb | = 5的最大值。

题后思考此题考查的是作图——轴对称变换、勾股定理等。知道“两点间最短线段”是解决这个问题的关键。

4.动手操作:在长方形纸上ABCD，AB =3，AD = 5。如图，将纸对折，使A点落在BC边缘，折痕为PQ。当点A在BC的边上移动时，折痕的端点P和Q也移动。如果极限点P和Q分别在AB和AD的边上移动，则点A '将在BC中。

边可以移动的最大距离是。

分析这个问题的关键是找到两个极端，即Ba’取最大值或最小值时P点或Q点的位置。通过实验不难发现，P点和B点重合时Ba’取最大值3，Q点和D点重合时Ba’取最小值分别为1。因此，点A’在BC侧移动的最大距离可以被发现为2。

解:P点和B点重合时，Ba’的最大值为3；当Q点和D点重合时(如图)，勾股定理的A′c为4，Ba′的最小值为1。

那么A '点在BC边上移动的最大距离是3-1 = 2。所以答案是:2。

题后思考此题考查学生的动手能力，图形的折叠，勾股定理的应用等知识，难度略大。学生主要是缺乏实际操作的习惯，仅凭想象出错。

5.如图，直角梯形纸ABCD，AD ⊥AB，AB =8，AD =CD =4，点e和f分别在线段AB和AD上，△AEF沿EF折叠，点a的落点记为p，当p落在直角梯形ABCD内时，PD的最小值等于。

分析如图。经过分析探索，只有当直径EF最大且A点落在BD上时，PD才最小。根据勾股定理求BD的长度，问题就可以解决了。

∵当点p落在梯形内∠p =∠a = 90°时，∴四边形PF AE是由直径为EF的圆内接的四边形，

∴只有当直径EF最大，且a点落在BD上时，PD最小，然后e与b点重合；PE =AB =8，BD 2=82+62=80，∴ BD = ∴ PD = 8。

题后我认为这个命题是以直角梯形为载体，以折叠变换为方法，以全等三角形的判定及其应用为核心来构造的。解决问题的关键是在人物的运动中把握某一瞬间，动中求静，静中制动。

6.如图∠mON = 90°矩形ABCD的顶点A和B分别在边OM和ON上。当B在on边上移动时，A在OM上移动，矩形ABCD的形状不变，其中AB =2，BC =1。在运动过程中，从D点到O点的最大距离是。

分析取AB的中点E，连接OD、OE和DE。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OE =AB。然后根据勾股定理，三角形的任意两条边之和大于第三条边，就可以得到最大OD交点E。解法:取AB的中点E，连接OD，OE，DE，∫∠MON = 90。

AB =1，2

∵BC =1，四边形ABCD是矩形，∴AD =BC =1

∴DE

根据三角形的三边关系，OD

当OD穿过E点时

。

题后思考此题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理。确定OD交点AB中点的最大值是解决问题的关键。

7.如图，线段AB的长度为4，C为AB上的动点，以AC和BC为斜边在AB的同侧做一个等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，则de长度的最小值为。

设AC =x，BC = 4-x，根据等腰直角三角形的性质得到CD。

定理然后可以用匹配法求解。

解法:设AC =x，BC = 4-x，

∫△ABC和△BCD’是等腰直角三角形，∴CD.

x，CD

= (4-x)，根据毕达哥拉斯22

，光盘

′=4﹣x)，121

+(4﹣x)2 = 2﹣4x+8 =(﹣2)2+4，22

∠∠ACD = 45，∠BCD′= 45，

∴∠DCE =90，∴DE 2=CD 2+CE 2=

根据二次函数的最大值，

当x取2时，DE取最小值，最小值为:4。所以答案是:2。

题后思考这道题考查的是二次函数的最大值和等腰直角三角形，不难。关键是掌握匹配法求二次函数的最大值。8.如图，在菱形ABCD中，AB =2，∞∠A = 120，点P，Q，K分别是线段BC，CD，BD上的任意点，则PK+QD。

分析了根据轴对称确定最短路径的问题，以点p’为关于BD的对称点，连接p’q和BD的交点为求点k，然后根据直线外的一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，可以知道p’q⊥CD时PK +QK的最小值，进而求解。

解:如图，ab = 2，∝∠a = 120，∴点p '到CD的距离为

∴PK +QK

题后思考此题考查了菱形的性质，以及利用轴对称确定最短路径的问题，记忆菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路径的方法是解题的关键。

9.如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点(可与B、C重合)，B、C、D取为射线AP的垂线，垂足分别为B’、C’和D’，因此BB’+CC’+DD’的取值范围为。

首先，连接AC和DP。由正方形的边长ABCD为1，我们可以得到:S △ADP =S △ABP +S △ACP =S △ABC =

11S平方ABCD =，22

111

s的平方ABCD =，然后就可以得到AP？(BB '+CC '+DD ')=1，由1≤AP变更而来。

222

答案。

解决方法:连接交流，直流。

∫四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长是1，∴AB =CD，s正方形ABCD =1，∫s△ADP =

1111S平方ABCD =，S △ABP +S △ACP =S △ABC =S平方ABCD =，2222。

∴S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，

1111

AP？BB′+AP？CC′+AP？DD′= AP？(BB′+CC′+DD′)= 1，2222

那么BB '+CC '+DD '=，

美国联合通讯社(Associated Press)

∫1≤AP

∴

∴当p和b重合时，存在一个最大值2；当p和c

BB′+CC′+DD′≤2。

题后思考，本题考查正方形的性质、面积和等积变换。这个问题比较难，解决的关键是连接AC和DP。根据题意，S △ADP +S △ABP +S △ACP =1，然后BB′+CC′+DD′=

2.美国联合通讯社(Associated Press)

10.如图，在菱形ABCD中，∠ A = 60，AB =3，半径⊙A和⊙B分别为2和1，P，E，F分别为边CD，⊙A和⊙B上的动点。

通过分析菱形和切圆的性质，得出P和D重合时PE +PF的最小值，然后求解。解:从题意可以得出，当P和D重合时，E在AD上，F在BD上，PE +PF最小，连接BD。

in∫钻石ABCD，∠ a = 60，

∴AB =AD，那么△ABD是等边三角形，∴BD =AB =AD =3

⊙A和⊙B的半径分别为2和1，∴PE =1，DF =2，

∴PE +PF的最小值是3。所以答案是3。

题后思考这个问题主要考察菱形的性质和两个相切圆的性质，根据题意得出P点的位置是解题的关键。