求近十年全国初中数学竞赛试题及答案。(问答分为两部分)

2013全国初中数学竞赛试题

1.选择题(***5题，每题7分，***35分。每个问题都有四个选项，代码分别为A、B、C和D，其中只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号放在问题后的括号内，不填、填多或填错都得0分)。

A+2b3c = 0ab bcca1。设非零实数A，B，C满足？那么)abc2a+3b4c = 0

11(A)—(B)0(C(D)1 22

2.已知A，B，C是实常数，关于X的一元二次方程ax2 bx c=0有两个非零实根x1，x2，那么下面是关于X的。

在11的二次方程中，)x 1x 2(a)C2 x2(B2-2ac)xa2 = 0(b)C2 x2-(B2-2ac)xa2 = 0。

(C)C2 x2(B2-2ac)x—a2 = 0(D)C2 x2—(B2-2ac)x—a2 = 0

3.如图，在Rt△ABC中，已知o为斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为d，DE⊥OC，垂足为e，若AD，DB，CD的长度为有理数，则线段OD，OE，DE，AC的长度不一定为有理数()...

(A)OD (B)OE (C)DE (D)AC

4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，BC=4CF，DCFE为平行四边形，则图中阴影部分的面积为()。

(A)3 (B)4 (C)6 (D)8

3x3x2Y2XY3 455。对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为:x？y=，(x 1) (y 1)—60

(x？y)？z，2013？2012?3?2的值是()而x？y？z=

6071821546316389

二、填空(***5小题，每小题7分，***35分)

6.假设一个

，b是a2的小数部分，那么(b 2)3的值就是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

7.如图所示，D点和E点分别是△ABC的AC边和AB边上的点，直线BD和CE相交于f点，已知△CDF、△BFE和△BCF的面积分别为3、4和5，则四边形AEFD的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _。

第1 *** 7页

已知正整数A，B，C满足AB2-2C-2 = 0，3A2-8BC = 0，那么abc的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

9.实数A，B，C，D满足:一元二次方程x2 cx d=0中的两个是A和B，一元二次方程x2 ax b=0中的两个是C和D，那么所有满足条件的数组(A，B，C，D)都是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。

10.一天，小明自愿在一家文具店卖笔。每支铅笔卖4元，每支圆珠笔卖7元。一开始，他有铅笔和圆珠笔。

350支笔，虽然当天笔没有卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，那么他至少卖了_ _ _ _ _ _ _ _ _。

同ＰＥＮIＮＳＵＬＡ

E O D

(问题3)

(问题4)

d(问题7)

三、答题(***4题，每题20分，***80分)

11.如图，抛物线y = AX2BX-3，顶点为E，抛物线与X轴相交于A点和B点，与Y轴相交于C点，OB = OC = 3OA。

直线y =-2 1与Y轴相交于D点，求出∠ DBC-∠ CBE。

三

12.设△ABC的外心为O，H，若B，C，H，O***分别圆，对所有△ABC，求∠BAC的所有可能性。

度。

13.设A，B，C为质数，设X z=a b-c-A，Y x=b c-a-B，Z y=c a-b-C，当Z2 = YX-Y = 2时，A，B，C可以构造吗？

三角形的三条边有多长？证明你的结论。

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4.如果把正整数M放在正整数M的左边，得到的新数能被7整除，那么M就叫做M的“幻数”(例如，

把86放在415的左边，86415这个数能被7整除，所以叫415这个魔数)。求正整数n的最小值，这样就有不同的正整数a1，a2，？，an，满足对于a1中的任意正整数m，a2，？an中至少有一个m的幻数。

2013全国初中数学竞赛参考答案

一、选择题

1.答a。

0所以(a？b？c)2？0.所以解是由已知的A给出的？b？c？(2a？3b？4c)？(a？2b？3c)？，1ab？公元前？ca1ab？公元前？ca(a2？b2？C2)，所以2.22

2a？b？c2

2.答案b

因斧而答？bx？c？0是关于x的二次方程，那么a？0.因为x1？x2

公元前

，x1x2？，aa

11(x1？x2)2？2x1x2b2？2ac11a2

还有x1x2？0，所以c？0，还有2？2?,2?2?2, ?222

x 1x2x 1x2x 1x2c

b2？2aca2112

X0，那么根据方程的根与系数的关系，以2，2为两个实根的二次方程就是x？

c2cx1x2

即c2x2？(b2？2ac)x？a2？0.

3.答案d

因为AD，DB，CD的长度都是有理数，所以OA = OB = OC =

AD？神学士

是一个有理数。所以，OD = OA-AD是一个有理数。2

问题3)(问题3)

DC·杜德

从Rt△DOE∽Rt△COD，知道OE吗？，德？都有

OCOC

有理数和AC

4.答案c

因为DCFE是平行四边形，DE//CF和EF//DC与CE相连，又因为DE//CF是DE//BF，S△DEB = S△DEC，所以原阴影的面积等于△ACE的面积。

接AF，因为EF//CD就是EF//AC的意思，所以S △ ACE = S △ ACF。

因为BC？4CF，所以s △ ABC = 4s △ ACF。因此，阴影面积为6。

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5.答案c

解决方案设置为2013？2012?4?那就m吧

3m3？3?3m2？9?m？27?45

9, ?2013?2012?43?m？3?三

m？3m2？3m？1?64?60

3?93?2?3?92?22?9?23?455463

那又怎样？2013?2012?32?9?2?。33

10?3?60967

第二，填空

6.答案9

回答因1？答？2?答？

3，那么b呢？答？2

2，所以(b？2)3?3?9.

7.回答

204

答案如图。如果连接AF，您将拥有:

s？AEF？4S？AEF？s？BFEBFS？BCF5

=?,

s？AFDS？AFDFDS？CDF3S？AFD？3S？AFD？s？CDFCFS？BCF5

s？AEFS？艾菲丝？BEF4

10896

，S？AFD？。1313

204

因此，四边形AEFD的面积是。

拿个s？AEF？8.回答2013

答案被a知道了？b？2c？2?0，3a？8b？c？0消去c，排列。

(问题7)

b？8?

6a2？答？66.a是正整数，6a2？A≤66，可以得到1 ≤ A ≤ 3。

如果a？那么1呢？b？859，无正整数解；如果a？2，然后呢？b？840，无正整数解；

如果a？那就3个？b？89，所以可以拿b？11，b？5.(I)如果b？11，那么c呢？61，这样就能上abc了？3?11?61?2013;㈡如果b？5，那么c呢？13，这样就能上abc了？3?5?13?195.综上，abc最大值为2013。

,?2,,1?2)，(t，，0？t，0)(t是任意实数)

9.回答(1

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答？bc，ab？d，

维耶塔定理给出了答案？

c？达，？

cd？乙？

从上面的公式，我们可以知道ba？c？d .如果b？d？0，然后是a？



1，c1，然后b？达？c2。弹底引信（base detonating的缩写）

如果b？d？0，然后是ca，用(a、、、。BCD)？(t，，0？t，0)(t为任意实数)测试后，数组(1，？2,,1?2)和(t，0？t，0)(t是任意实数)满足条件. 10。答案207

让x和y分别代表已经售出的铅笔和圆珠笔的数量。

4x？7y？2013,

x？y？350,?

2013?7yy？1

(503?2y)？, 44

y？1是一个整数。还有2013？4(x？y)？3y？4?350?3y，

四

所以x？

所以y？204，所以y的最小值是207。这个时候，X？141.

第三，回答问题

11.如图，抛物线y？斧头？bx？3，顶点为e，抛物线与X轴相交于A、B两点，与Y轴相交于C点，

并且ob = oc = 3oa。直线y

求∠DBC？∠CBE。

x？1和Y轴相交于点D.3。

x？1，y？ax2？bx？3知道，d (0，3

x？1穿过点B.3。

(问题11)

答案会是x？0分别转化为y1)，C(0，3),

所以b (3，0)，a(？1,0).y线

会点C(0，？把3)的坐标代入y？a(x？1)(x？3)、拿个a？1.

抛物线y？x？2x？3的顶点是E(1，？4).所以从勾股定理来看

公元前=CEBE

因为bc2+ce2 = be2，△BCE是直角三角形。BCE？90?。

(问题11)

OD1CE1

，那么∠ dbo = CBE。=.tan∠DBO= OB3CB3。

所以呢？DBCCBEDBCDBOOBC？45?。

所以谭？CBE=

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h，O***圈，为大家△ABC，什么？BAC12..设△ABC的外中心和垂直中心分别为O和H。如果B，C，

所有可能的学位。

在三种情况下讨论了解决方案。(I)如果△ABC是一个锐角三角形。

因为？BHC？180?一、？中行？2?一，

所以凭什么？BHCBOC，可以得到180吗？答？2?a所以呢？答？60?。

(问题12 (I))

(ii)如果△ABC是一个钝角三角形。

(问题12(二))

什么时候？答？90?什么时候，因为？BHC？180?一、？中行？2?180?答？,

所以凭什么？BHCBOC？180?，能得到3？180?A180？，然后呢？答？120?。

什么时候？答？90?什么时候，不妨假设一下？b？90?因为？BHCA？中行？2?一，

所以凭什么？BHCBOC？180?，能得到3？答？180?，然后呢？答？60?。

(iii)如果△ABC是直角三角形。

什么时候？答？90?当，因为O是BC边的中点，B，C，H，O不可能是* * *圆，所以？a不可能是90？；

什么时候？答？90?什么时候，不妨假设一下？b？90?这时候B点和H点重合，所以总有圆B，C，H，O***，所以呢？a可以是0？答？90?所有的角落。

总而言之，？a所有可能的度数都是锐角和120？。

13.设A，B，C是质数，还记得X吗？b？c？a，y？c？答？b，z？答？b？c，

当z2？y，

两点钟的时候，

A、B和C能组成三角形的三条边吗？证明你的结论。

答案是不能。

111

(y？z)、b？(x？z)、c？(x？y)。222

112z(z？1)2

因为y Z所以a？(y？z)？(z？z)？。

222

又因为z是整数，a是质数，z？2还是？3，a？3.

根据问题的意思，你得到A吗？

当z？

两点钟方向，y？z2？4、x？2)2?16.再进一步，b？9，c？10，与B和C是质数相矛盾；

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当z3，a？b？c？0，所以A，B，C不能构成三角形的三条边。

14.如果把正整数M放在正整数M的左边，得到的新数可以被7整除，那么M就叫做M的“幻数”(比如把86放在415的左边，得到的数可以被7整除，那么86就叫做415的幻数)。

如果n≤6，取m？1,2,?，7，根据鸽子洞原理的知识，a1，a2，…，an中一定有一个正整数m是I，J的公* *的幻数(1 ≤ I < J ≤ 7)，即7|(10M？I)，7|(10M？j)。有7|(j？I)，而是0

j？I≤6，矛盾。

因此，n ≥ 7。

当a1，a2，…，an是1，2，？7、设任意正整数m为k位数(k为正整数)，则10i？m(我？1,,2?7)除以7的余数成对不同。否则有一个正整数I，j (1 ≤ I < j ≤ 7)，满足7|[(10kj？m)？(10ki？M)]，即7|10k(j？I)，从而7|(j？我)，矛盾。

所以一定有一个正整数i(1≤i≤7)，使得7|(10ki？m)，即I是m的幻数，因此，n的最小值是7。