smc数学竞赛真题

x = 1/a3(B+C)= ABC/a2(A B+BC)= 1/a2(1/b+ 1/C)。所以只需要证明x 2/(y+z)+y 2/(x+z)+z 2/(x+y) ≥ 3/2，因为x 2/(y+z)+(y+z)/4 ≥ x，y 2/(x+)得到一个证书

基本不平等

请参考以下内容:

1/(a？(b+c))+1/(b？(a+c))+1/(c？(a+b))

=[1/(a？(b+c))+1/(b？(a+c))+1/(c？(a+b))](abc)？

=(b？c？)/(b+c)+(a？c？)/(a+c)+(a？b？)/(a+b)

& gt=(bc+ac+ab)？/[2(a+b+c)]

这里有一个重要的不等式，实际上是柯西不等式的一个变种，下面解释。

=[a？b？+b？c？+a？c？+2(a？bc+ab？c+abc？)]/[2(a+b+c)]

因为一个？b？+b？c？+a？c？

=(1/2)(2a？b？+2b？c？+2a？c？)

=(1/2)(a？b？+b？c？+a？c？+a？b？+b？c？+a？c？)

=(1/2)[b？(a？+c？)+a？(c？+b？)+c？(b？+a？)]

使用平均不等式

& gt=(1/2)[b？(2ac)+a？(2bc)+c？(2ab)]

=ab？c+a？bc+abc？

=a+b+c

所以【a？b？+b？c？+a？c？+2(a？bc+ab？c+abc？)]/2(a+b+c)

& gt=[a+b+c+2(a+b+c)]/[2(a+b+c)]

=3(a+b+c)/[2(a+b+c)]

=3/2证书已完成

柯西不等式

(a？+b？+c？)(x？+y？+z？)& gt=(ax+by+cz)？

转变成

[(a？/x)+(b？/y)+(c？/z)](x+y+z)>=(a？+b？+c？)?

两边除以(x+y+z)，即

(a？/x)+(b？/y)+(c？/z)>=(a？+b？+c？)?/(x+y+z)

上面有一个关键步骤就是用这个不等式证明的。

希望采纳O(∩_∩)O~