希望杯赛真题重现。

1.该函数的最小值是(c)

A.0 B.1 C.2 D.3

[解决方案]因此，当

当且仅当上述方程相等，且这个方程有解，所以中的最小值为2。

2.设，如果，那么实数的范围是(d)

A.B. C. D。

[解决方案]因为有两个真正的根

, ,

所以它相当于and，也就是

而且，

获取解决方案。

3.甲乙双方打乒乓球时，约定胜一方得1分，负一方得0分，当其中一方比另一方多2分或已打满6局时，比赛停止。假设甲方每局获胜的概率为，乙方每局获胜的概率为，且每局的胜负是独立的，那么博弈停止时博弈次数的期望值为(B)。

A.B. C. D。

【解答1】根据题意，的所有可能值为2、4、6。

设每两局为一轮，则该局在该轮结束时停止的概率为

。

如果本回合结束游戏还将继续，甲乙双方必须在本回合各得一分。此时，这一轮的结果对下一轮比赛是否停止没有影响。

,

,

,

因此。

【解法二】根据题意，的所有可能值都是2，4，6。

顺序就是A赢第一局，B赢第二局。

通过独立和互不相容

,

,

,

因此。

4.若三个整边立方体的表面积之和(单位:cm)为564 cm2，则这三个立方体的体积之和为(A)。

A.764立方厘米或586立方厘米。

C.586立方厘米或564立方厘米深586立方厘米

【解法】如果这三个正方体的边长分别是，那么就有，而且可能是设定的，所以，因此，我们只能取9，8，7，6。

如果，那么，容易知道，并得到一套解决方案。

如果，那么，但是，因此还是5。如果，那么无解，如果，那么无解。这个时候，没有解决的办法。

如果有唯一的解决方案。

如果，那么，此时，因此，但是，因此，此时无解。

综上，* * *有两组解决方案或者。

体积为cm3或cm3。

5.方程的有理数解的个数是(b)

A.1 B. 2 C. 3 D. 4

【解】如果，那么解就是或者。

如果有，就会获得。

耶德。②

用②代替③。

从①到③，简化。

很容易知道没有有理数根，所以从①和②得到是矛盾的，所以方程组* * *有两个有理数解或。

6.如果内角的对边是几何级数，则取值范围为

(三)

A.B.

C.D.

[解决方案]设置常用比率，然后，和

。

因此，只需要值的范围。

因为几何级数，最大的边只能是或，所以要形成一个三角形的三条边，需要且仅需要有一个不等式组。

也就是

解决

因此，所寻求的值的范围是。

二、填空(此题满分54分，每小题9分)

7.设，其中是实数，，，如果，则5。

【解决方法】从题意来看

,

因此，从…

8.然后，将最小值设置为。

[解决方案]

,

(1)，最小值时；

(2)当最小值为1时；

(3)、最小值时。

或者，的最小值不能是，

所以，解决，(放弃)。

9.如果将24个志愿名额分配给3所学校，则每所学校至少有一个名额，有222种不同的分配方式。

【解法一】用四根棍子之间的空隙代表三所学校，用代表名额。例如

意思是第一第二第三学校分别有418和2个名额。

如果把每一个“”和每一个“”都看作一个位置，因为左右两端必须是|”，不同的分配方式就相当于一种位置(两端不包括)被两个|”占据的“占据法”。

“每校至少一个名额”的划分，相当于在24个“”中，从23个缺口中选出两个缺口，插入“|”，所以有两种。

“每校至少一个名额”方法中“至少两校名额相同”的分配方法有31。

综上，符合条件的分布方式有253-31 = 222种。

【解法二】如果分配给三所学校的名额是0，那么每所学校至少有一个名额的分数就是一个不定方程。

。

的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，等于来自三个不同元素的21个元素的重新组合:

。

“每校至少一个名额”方法中“至少两校名额相同”的分配方法有31。

综上，符合条件的分布方式有253-31 = 222种。

10.设级数前几项之和满足:，则通项=。

【解决方案】，

即2

= ,

这就引出了2。

订单，()，

是的，所以，所以。

11.设函数定义在，如果且对于任何，满足。

，，那么=

【解决方案1】从题目的条件知道。

,

因此，有，因此

。

[解决方案2]那么，订单

,

,

也就是说，

因此，

它必须是一个周期为2的周期函数，

所以。

12.一个半径为1的球在内壁长为的正四面体容器中可以向各个方向自由运动，所以球永远不能碰到的容器内壁面积为。

【解法】如果答案是12，图1，考虑球被挤到角落的情况。设球的半径为//平面且与该点相切，则球的中心为正四面体的中心，垂足为中心。

因为

,

因此，因此。

记住此时球和曲面的切点是，相连的，那么

。

考虑到球与正四面体的一个曲面相切，就很容易知道球在曲面上最靠近边的切点的轨迹仍然是正三角形，记为例如答案12图2。记录正四面体。

的边长过长。

因为，有，小三角形的边长。

球接触不到表面的部分面积为(例如答案12图2中阴影部分)。

。

再次，所以

。

由对称性，和正四面体***4个面，所以球接触不到的容器内壁面积是***。

三、解题(此题满分60分，每小题20分)

13.已知函数的图像与直线只有三个交点，交点横坐标的最大值为，所以验证:

。

证件图像与直线的三个交点如答案13所示，在里面相切，切点为。

...5分

因为，，所以，那就是...10分。

因此

...15点

...20分

14.解决不等式

。

[解1]由，世界上还有增函数，所以原来的不等式等价于

。

即...5分。

分组分解

，…10积分

所以，

...15点

所以，这就是要么。

因此，原不等式解集为...20分。

[解2]由，世界上还有增函数，所以原来的不等式等价于

...5分

也就是

,

，…10积分

顺序，不等式是

,

显然它在世界上是递增函数，所以上述不等式等价于

，…15点

即解决方案(丢弃)，

因此，原不等式解集为...20分。

15.如图15，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内接，求面积的最小值。

【解套】套，不妨套。

直线方程:，

简化一下。

离圆心的距离是1，

,...5分

因此，

容易知道，上面的公式是简化的，

同样，也有...10分。

所以，那么，

。

因为它是抛物线上的一个点，如果有，那么

,...15点

因此

。

当，以上公式取等号，此时。

所以最小值是8。