如何根据二次函数的图像判断a，b，c的相关性质
例1 5。(08.长沙)二次函数的图像如图，那么下列关系不正确的是()。
a . a < 0；b . ABC > 0；c . a+b+ c > 0；D.b2-4ac>0。
y解:A: ∵抛物线开口向下，∴ a
B: ∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，∴c>；0 .
∵对称轴在y轴左侧(或顶点在y轴左侧)，∴-< 0。
∫A
-1 0 1 C:由抛物线上对应点上方的点(1，0)可知。当x=1时，y < 0，
即a+b+c < 0。所以，c不成立。
D: ∵抛物线与X轴有两个交点(或者顶点在X轴上方)。
∴b2-4ac>；0.因此，D成立。
综上所述，应该选择(c)
从这个问题可以看出，解决这类问题的关键在于对问题中给出的图像抛物线的五个方面的观察和讨论:一、开口方向；2.抛物线与y轴的交点；3.顶点的位置；4.对称轴的位置x =-；5.抛物线与x轴的交点。只要我们熟悉了这五个方面与A、B、C之间的关系和规律，解决大部分问题就会比较容易。
对此，我们可以做如下相关总结:
1.开启方向:判断a的符号。
如果开口向上，则为-0；如果开口向下，则为0。
2.抛物线与Y轴的交点:判断c的符号。
如果交点在Y轴的正半轴上，则c-0；若交点在轴的负半轴上，则c < 0；如果交点正好是原点，那么c=0。
3.顶点的位置
1.顶点横坐标的作用-:根据顶点与Y轴的左右关系，识别横坐标的符号，然后结合A的符号识别b的符号(对称轴的使用也有这个作用，见后四条。1)
2.顶点纵坐标(4ac-b2)/4a的作用:根据顶点与X轴的垂直关系，可以识别出纵坐标的符号，然后结合A的符号就可以识别出B2-4ac的符号..(利用抛物线与X轴相交的次数也可以达到这个效果。)
4.对称轴的位置x =-
1.判断B的符号:判断整体的符号——根据对称轴和Y轴的左右关系，再结合A的符号，就可以判断出B的符号。
2.如果对称轴已知为x=k，那么-= k，即得到A和B的等价关系。
3.如果对称轴已知为x = k >；M，那么-> M，结合a的符号，可以得到a和b之间的一种不对等关系(比如大小关系)。
动词 （verb的缩写）抛物线与X轴的交点:从AX2+BX+C的结构特征判断相关命题
注意，二次函数ax2+bx+c的结构有以下特点:
当x = 3时，ax2+bx+c = 9a 3b+c1。
当x = 2时，ax2+bx+c = 4a 2b+C2。
当x = 1时，AX2+BX+C = A B+C ③。
当x = m时，ax2+bx+c = am2 BM+c4。
设抛物线与X轴的交点为A和B，根据X轴上的点(3，0)、(2，0)、(1，0)、(m，0)与点A和B的位置关系，可以判断与上述四个公式(或其变型)有关的一些命题。
例2。(2007?天津)已知二次函数y=ax？+bx+c (a≠0)的图像如图，有以下五个结论:
①ABC > 0；②b < a+c；③4a+2 b+ c > 0；④2c < 3b；⑤a+b & gt；M(am+b) (m是实数≠1)。
正确的结论是()
A.2B.3、C.5和D.5
y解:①:不成立。原因很简单。
X=1 ②:由抛物线上对应点上方的点(-1，0)可知，当x= -1。
，y
③由对称性可知，点(2，0)在相应抛物线上的点之下，
因此，当x=2时，y >；0，即4a+2 b+ c >；0.因此，③成立。
-1 0 x ④由对称轴x=1，-= 1，∴a=- b可知，代入上一个。
a-b+ c & lt；0表示2c < 3b。因此，4成立。
⑤根据顶点是最高点的事实，x=1 >时y的值；x=m(≠1)时的y值，即a+b+c >；Am2+bm+c，所以A+B >；m(am+b)(m≠1)。
因此，5成立。
综上，你应该选择b。
对于一些较难的题目，仅仅总结以上五点是不够的。为此，下面我再补充一点。
6.以方程或不等式的思想为指导，运用相关技巧判断一些疑难命题是否成立。
1.如果对称轴是x=k，那么-= k，然后带入问题中得到的相关公式，就可以判断出A，C或者B，C之间的一些关系。
2.如果抛物线与X轴的交点为(k，0)，那么ak2 +bk+c=0，然后带入问题中得到的相关公式，就可以判断出A、B、C之间的一些关系..
3.若抛物线与X轴的交点为(K1，0)和(K2，0)，则ak12+bk1+c=0，ak22+bk2+c=0，A、B、C之间的一些关系可以通过两个表达式的匹配得到。
例3。如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图形的X轴与点(-3，0)，(x1，0)，2 < X1 < 3相交，与Y轴的正半轴相交于点(0，0)。
①a > b > 0；②6a+c > 0；③9a+c < 0；④9a+3b+2>0。
正确的结论是_ _ _ _ _(填写所有你认为正确的结论)
解决方法:①不成立。原因很简单。
Y ② 9a -3b+c=0 (1)距离交点(-3，0)
4a+2b+c从点(2，0) >: 0 (2)
(1)和(2)减去b得到30a+5c >:0 ∴6a+c>；0
2因此，2成立。
X1 ③ 9a+3b+c < 0 (3)
-3 0 2 3 x 18a+2c < 0 ∴9a+c<；0
因此，3成立。
(4)∵像与轴的正、半轴的交点在(0，2)以上。
∴c>；2
∴9a+3 b+2 < 9a+3 b+ c & lt；0
因此，(4)不成立。
综上所述，正确的结论是②和③。
例4。已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点(-2，0)，(x1，0)，1 < x1 < 2，与y轴正半轴相交于点(0，0)。以下结论
①a < b < 0；②2a+c > 0；③4a+c < 0；④2a-b+1 > 0；⑤b2-2ac>5a2。
正确结论的数量是()
A.2B.3C.4d .五。
解法:①根据题意和抛物线的对称性，对称轴应在Y轴之和。
直线y =-，所以-
2因此，①成立。
② 4a-2b+c = 0 (1)和∴ c = 2b-4距离交点(-2，0)。
-2 0 1 x 1 2 x ∴2a+c=2a+(2b-4a)=2(b-a)>；0.因此，②成立。
③来自(1)的4a+c = 2b
④ 2a-b =-from (1)，∴ 2a-b+1 = > 0。所以④成立。
⑤ b = from (1)，∴ B2-2ac = () 2-2ac =
(16a2+8ac+c2)∕4-2ac = 4a 2+C2 .从②中得到c >;-2a，
∴c2>；4a2，所以B2-2ac >；4a 2+a2 & gt；5a2。因此，⑤成立。
注意:例3中判断(2)和(3)的方法可以用来判断例4中的(2)和(3)，反之亦然。总的来说，例3和例4的判断方法各有特点，但相互比较，例4的方法可能更容易让学生掌握。
巩固练习
1的形象。(08.巴中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)如图，下列说法不正确。
y真的是()
a . B2-4ac > 0；b . a > 0；c . c > 0；D.- ﹤0。
答案:d
0 x
2。(南充，2007)。该图是二次函数y=ax2+bx+c的图像的一部分，图像通过点A(-3，0)。
Y的对称轴是x=-1。给出了四个结论:
①B2 > 4ac；②2a+b = 0；③a-b+c = 0；④5a 正确的结论是() -3 0 1 x a .②④；b .①④；c .②③；D.①③。 答案:b 3.(包头，2009)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与X轴相交于点(-2，0)。 Y (x1，0)，且1 < x1 < 2，与Y轴的交点在点(0，2)的下方。 方得出如下结论: 2①4a-2 b+ c = 0；②a < b < 0；③2a+c > 0；④a-b+1>0。 正确结论的数量是_ _ _ _。 -2 0 1x1 2 x 答案:4。