高考新题型系列

xn-PXn-1+QXn-2 = 0-(1)

将其转换为以下格式(待定系数法):

Xn-A * Xn-1 = B(Xn-1-AXn-2)-(2)

展开公式(2)并将其与公式(1)中的项目进行比较:

A+B=P - (3)

A*B=Q - (4)

所以A和B是x 2-px+q = 0。我们假设A=α，B=β。

Xn-α* Xn-1 =β(Xn-1-αXn-2)-(5)

根据(5)的递推公式(代入n-1，n-2，n-3，...，4，3，我们得到:

Xn-1-α* Xn-2 =β(Xn-2-αXn-3)-(5.1)

Xn-2-α*Xn-3=β(Xn-3-αXn-4) - (5.2)

Xn-3-α*Xn-4=β(Xn-4-αXn-5) - (5.3)

......

X4-α*X3=β(X3-αX2) - (5.n-4)

X3-α*X2=β(X2-αX1) - (5.n-3)

(5) * (5.1) * (5.2) * (5.3) * ...* (5.n-4) * (5.n-3)并删除相同的项目:

xn-α*xn-1=(x2-αx1)*β^(n-2)

xn=(x2-αx1)*β^(n-2)+α* xn-1

=(x2-αx1)*β^(n-2)+(x2-αx1)*β^(n-3)*α+α^2*xn-2

=(x2-αx1)*β^(n-2)+(x2-αx1)*β^(n-3)*α+(x2-αx1)*β^(n-4)*α^2+α^2*xn-2

......

=(x2-αx1)*β^(n-2)+(x2-αx1)*β^(n-3)*α+(x2-αx1)*β^(n-4)*α^2+...+(x2-αx1)*β^(n-m)*α^(m-2)+...+(x2-αx1)*α^(n-2)+α^(n-1)*x1

几何级数和(公比:α/β)+α (n-1) * x1。

流程比较复杂，建议大家参考:

斐波那契数列通项公式的推导:

斐波那契数列:1，1，2，3，5，8，13，21...

设F(n)是级数的第N项(n∈N+)。那么这个句子可以写成下面的形式:

F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然，这是一个线性递归序列。

通式推导方法1:利用特征方程

线性递归序列的特征方程是:

X^2=X+1

解决

X1=(1+√5)/2，X2=(1-√5)/2。

那么f (n) = c1 * x1 n+C2 * x2 n

∫F(1)= F(2)= 1

∴C1*X1 + C2*X2

C1*X1^2 + C2*X2^2

解是C1=1/√5，C2=-1/√5。

∴f(n)=(1/√5)* {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2]n }√5表示根号5。

通式的推导方法2:普通方法

设常数r，s

设f(n)-r * f(n-1)= s *[f(n-1)-r * f(n-2)]

那么r+s=1，-rs=1。

当n≥3时，有

F(n)-r * F(n-1)= s *[F(n-1)-r * F(n-2)]

F(n-1)-r * F(n-2)= s *[F(n-2)-r * F(n-3)]

F(n-2)-r * F(n-3)= s *[F(n-3)-r * F(n-4)]

……

F(3)-r * F(2)= s *[F(2)-r * F(1)]

将上面的n-2个表达式相乘得到:

f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]

∫s = 1-r，F(1)=F(2)=1

上述公式可以简化为:

f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)

所以:

f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)

= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*f(n-2)

= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+r^3*f(n-3)

……

= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)*f(1)

= s^(n-1)+r*s^(n-2)+r^2*s^(n-3)+……+r^(n-2)*s+r^(n-1)

(这是以S (n-1)为第一项，R (n-1)为最后一项，r/s为容差的几何级数的项之和)。

=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)

=(s^n - r^n)/(s-r)

R+S = 1和-RS = 1的解为S = (1+√ 5)/2，R = (1-√ 5)/2。

则f(n)=(1/√5)* {[(1+√5)/2]n-[(1-√5)/2]n }