数学中的归谬法应用在哪些问题中？

用反证法证明问题时，一定要用“反假设”进行推理，否则就不是反证法。在用反证法证明一个问题时，如果只有一个方面的命题是我们要证明的，我们正好可以反驳这种情况，这也叫反证法。如果结论是多方面的，那么必须把所有的负面情况一一反驳，才能推断出原来的结论。这种证明方法也叫“穷举法”。

例1证明当p和q都是奇数时，？曲线？y=？x？2-2px+2q与X轴相交的横坐标是无理数。(2009清华大学夏令营选拔考试)？

思维分析？

目前还没有直接的判断方法来解释二次方程的无知，所以采用归谬法。

证明？

逆交点横坐标是有理数。即交点横坐标为x=uv ((u，v)=1)，那么uv？2-2puv+2q=0，也就是u？2-2puv+2qv？2=0，u？2=2(puv-qv？2)①是偶数。所以u是偶数。

(u，v)=1，？v是奇数。

另外，还有来自①的v|u？2，从而v | u .和(u，v)=？1，v=1。

设u=2s，那么4s？2-4ps+2q=0，也就是？2s？2-?2ps+q=0，q=2(ps-s？2)偶数，与已知条件的奇偶性相矛盾。

因此，逆假设不成立，说明结论成立。

也就是曲线y=x？2-2px+2q与X轴相交的横坐标是无理数。

解题复习？

在简单整数理论中，归谬法是一种常用的方法。主要适用的情况是，当不能正面处理时，假设结论不成立，以假设为条件，最后通过推导矛盾否定假设。在简单整数理论中，很多矛盾都是奇偶矛盾，比如最经典的反证法证明2是无理数。

例2已知1和90之间有19(不同)个正整数。是不是一定有三个相等的差异？(1990匈牙利数学竞赛)？

分析？

从正面处理这样的问题是非常困难的。我们可以考虑从反面入手:没有三个相等的情况，最多两个相等，那么可以得到什么信息呢？如果按大小顺序排列，有18个差，这些差最多有两个相等，所以有一些重叠，所以至少有9个不同的数，我们试着找出存在或矛盾的地方。

证明？

设19的数是1≤a？1

因为a19？-a？1=(a19？-a18？)+(a18？-?a17？)+?……+(a？2-a？1),?

假设右边18的差没有三个相等，只有两个相等，取最小的一个。

a19？-a？1>2×(1+2+…+9)=90,

这和a19有关系吗？-a？1≤90-1=89矛盾。所以逆假设不成立。因此，两对之间必须有三个相等的差。

解题复习？

虽然在形式上没有用到“鸽子洞原理”，但是用到了鸽子洞原理的思想，就是把18这个数放在九个盒子里，最平均的情况是每个盒子里两个，否则就会出现我们要证明的结果:三个数在一个盒子里，也就是有三个差相等。所以在讨论问题的过程中，不能只关注定理和原理是否能用，而应该了解和挖掘定理和自然本身的数学性。

例3被称为a？以1为第一项的系列{a？N}满足:？an+1？=a？n+c，a？n<3，？答？nd，a？n≥3。？

当0 < a？1 < 1m (m为正整数)，c=1m，？d≥?在3m处，验证:序列a？2-1m，a3m+2？-1m，a6m+2？-1m，a9m+2？-1m成几何级数当且仅当？d=？3m。？(2008年上海市高三数学竞赛)？

思维分析？

充分性证明“当d=3m时，序列A？2-1m，a3m+2？-1m，a6m+2？-1m，a9m+2？-1m成几何级数“只需要代入验证即可。不需要任何技巧和复杂的计算，就要证明“已知序列A？2-1m，a3m+2？-1m，a6m+2？-1m，a9m+2？当-1m成为几何级数，d=3m”得到验证，？很难直接证明。我们要学会跳出正面冲突，从负面考虑问题，这样才能找到解决问题的办法。基本策略是枚举法，找出矛盾，解决问题。

证明？

充分性是轻微的，下一个证书的必要性是:逆向设计？d≥?3m+1，？

有个a？1，a？2=a？1+1m，a？3=?答？1+2m，…，，？a3m+1？=a？1+3mm=a？1+3,

a3m+2？=a？1+3d<1m，a3m+3？=a？1+3d+1m，…，，？

a6m+1？=a？1+3d+3m-1m<3，

a6m+2？=a？1+3d+3>3，a6m+3？=a？1+3d+3d<1m，…，，？

a9m+1？=a？1+3d+3d+3m-2m，

a9m+2？=a？1+3d+3d+3m-1m>2，…

所以a？2-1m>0，a3m+2？-1m<0，a6m+2？-1m>0，a9m+2？-1m>0。？

那么a系列呢？2-1m，a3m+2？-1m，a6m+2？-1m，a9m+2？-1m不是几何级数。

所以，a系列？2-1m，a3m+2？-1m，a6m+2？-1m，a9m+2？-1m成几何级数，？d=3m。？

解题复习？

这是数学解题的规律。正面解决问题时，我们有必要调整方向，从问题的反面出发，相当于加了一个条件。在这个问题中，d≥3m+1比d=3m小很多，级数增加很慢，所以原来的d=3m刚好够用。现在倒退了，自然应该有矛盾。这时候直观的定性分析也有帮助。

例4证明了如果变量X的整系数多项式在取三个不同的整数值时绝对值都是1，那么这个多项式没有整数根。

证明？

设整系数多项式f(x)有？

|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1。？(1)?

假设f(x)有一个整数根x？0,?那么f(x)=(x-x？0)Q(x)。？(2)(其中Q(x)是整数系数？项目类型)？

从(1)(2)，？|(a-x？0)Q(a)|=？|(a-x？0)|?|Q(a)|=1。？

既然Q(a)是整数，？然后|a-x？0|=1，同理|b-x？0|=1，|c-x？0|=1.？

所以那三个数字a-x 0，b-x？0，c-x？0中的两个必须相等。因此，A、B和C中有两个相等。

这与已知的相矛盾，所以f(x)没有整数根。

解题复习？

(1)应用了属性:多项式？f(x)？,?对于a，b∈R，a≠b，a-b一定是？f(a)-？f(b)的因子；？

(2)在研究带有“不存在”、“不”、“不等”、“不可能”等否定词的相关命题时，我们常见的策略是从反面考虑问题，即难则反。

例5？已知函数f(x)=ax？2+bx+？c(a≦？0)，f(x)=x没有实根。问:f(f(x))=x有实根吗？并证明你的结论。(2009上海交通大学自主招生试题)？

分析？

归谬法。如果有f(f(x？0))=x？0，使f(x？0)=t，那么f(t)=x？0，也就是，(t，x？0)是y=f(x)的图像上的一个点。0)=t，也就是，(x？0，t)也是y=f(x)的像上的一点。很明显，这两点并不重合，关于直线y=x对称，y=f(x)=ax？2+bx+c是连续函数，所以y=f(x)=ax？2+bx+c和y=x一定相交，所以f(x)=x有实数解。矛盾！

解题复习？

运用反证法，问题的解决直观明了。同时，这个问题的结论对于一般的连续函数f(x)也是成立的，其处理方法可以借鉴。

例6 (2008年北京大学自主招生试题)？实数a？i(i=1，2，3)，b？I(i=1，2，3)满足？答？1+a？2+a？3=b？1+b？2+b？3，a？1a？2+a？2a？3+a？3a？1=?b？1b？2+b？2b？3+b？3b？1, ?敏？(a？1，a？2，a？3)≤?敏？(b？1，b？2，b？3).？

证明:max？(a？1，a？2，a？3)≤?麦克斯。(b？1，b？2，b？3).？

思维分析？

这个问题很难直接证明，所以我们认为很难直接证明，用反证法和函数构造法来完成证明。

分析？

为什么不设个a呢？1≤a？2≤a？3，b？1≤b？2≤b？3，那么a呢？1≤b？1.答？3≤b？3.运用归谬法。如果呢？答？3>?b？3.构造两个函数f(x)=(x-a？1)(x-a？2)(x-a？3)，g(x)=(x-b？1)(x-b？2)(x-b？3).从已知的条件A？1+a？2+a？3=b？1+b？2+b？3，a？1a？2+a？2a？3+a？3a？1=b？1b？2+b？2b？3+b？3b？1，f(x)=g(x)+b？1b？2b？3-a？1a？2a？3.一方面，f(a？1)=g(a？1)+b？1b？2b？3-a？1a？2a？3=0, ?f(a？3)=?g(a？3)+b？1b？2b？3-a？1a？2a？3=0，所以g(a？1)=g(a？3).另一方面，g(a？1)=(a？1-b？1)(a？1-b？2)(a？1-b？3)、a？1-b？1≤0，a？1-?b？2≤?0，a？1-b？3≤0，所以g(a？1)≤0;然后呢。g(a？3)=?(a？3-b？1)(a？3-b？2)(a？3-b？3)、a？3-?b？1>?0，a？3-b？2>0，a？3-b？3 > 0，所以g(a？3) > 0，与g(a？1)=g(a？3)矛盾。所以a？3≤b？3, ?麦克斯。(a？1，a？2，a？3)≤?麦克斯。(b？1，b？2，b？3).？

解题复习？

数学竞赛考试是智慧的较量，尤其是如何摆脱困境。现在的数学竞赛、自主招生考试、高考，必然会出现“新题型”，可能会让考生一时抓不住，让他们苦苦思索，不再解题。单方面盲目进攻这些战略高地不是上策。要学会从侧翼进攻，往往会有“战略迂回”的意识，从侧面或对面的某一点突破。

牛顿曾经说过:“归谬法是数学家最好的武器之一”。一般来说，常用归谬法证明的题型有:结论以“否定形式”、“至少”或“至多”形式出现的命题，“唯一”、“无限”；或者用更明显、具体、简单的结论否定命题；或者直接证明困难的命题，改变它的思考方向，从结论中进行负面思考，问题可能就解决得很简单了。

巩固训练？

1?证明了如果f(f(x))有唯一不动点，那么f(x)也有唯一不动点。(2010浙江大学自主招生试卷改编)

2已知函数f(x)=13x？3-2倍？2+3x？(x∈？r)的图像是曲线c，？证明不存在直线和曲线C同时与两个不同的点相切。

3已知有一个积分系数a？1，a？2、…、a？n = x的多项式f (x)？n+a？1xn-1？+…+an-1？x+a？n，对于四个不同的整数A，B，C，D，f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=5。证明了不存在整数K，f(k)=8。(2009四川赛区初赛名称)

设f(x)=ax？2+bx+c，？已知F (1)，F (2)，F (3)，F (4)，F (5)都是素数。证明:F(x)否？可以分解成线性形式的两个整系数的乘积。(2010福建省数学竞赛初赛)

1?证明:为什么不设置x？0是f(f(x))的唯一不动点。也就是f(f(x？0))=x？0，使f(x？0)=t，那么f(t)=x？0，那么，f(f(t))=f(x？0)，而f(x？0)=t，即f(f(t))=t，这意味着t也是f(f(x))的不动点。如果f(f(x))有唯一不动点，你知道x吗？0=t，所以f(t)=t，？是不是说t也是？F(x)不动？点，存在的证明。

下一个证明的唯一性。假设f(x)有另一个不动点T？0,?那就是f(t？0)=t？0 (t≠t？0)，那么f(f(t？0))=f(t？0)=t？0，也就是说f(f(x))还有一个不动点t？0,?与题目相矛盾。

解题复习？当f(x？0)=x？在0点钟？我们称之为x？0是函数f(x)的不动点。利用不动点原理可以解决一些数学问题，这是自主招生考试中的热点问题。

2?证明了点A(x？1，y？1)的切线同时与曲线C的两点相切。另一个顶点是B(x？2，y？2)、x？1≠x？2.？

那么切线方程就是:？y-13x？31?-2x？21?+3x1？=?(x？21?-?4x1？+3)(x-x1？),?

简化:？y=(x？21?-4x1？+3)x+-23x？31?+2x？21?。？

而B(x？2，y？2)的切线方程是y=(x？22?-4x2？+3)x+-23x？32?+2x？22?,?

因为两条切线是同一条直线，

有:？x？21?-4x1？+3=x？22?-4x2？+3，x？1+?x？2=?4.？

再次-23x？31?+2x？21?=-23x？32?+2x？22?,?

也就是-23(x1？-x2？)(x？21?+x1？x2？+x？22?)+2(x1？-x2？)(x1？+x2？)=0,?

-13(x？21?+x1？x2？+x？22?)+4=0，也就是x1？(x1？+?x2？)+x？22?-12=0,?

也就是，(4-x2？)×4+x？22?-12=0，x？22?-4x2？+4=0，x？2=2.？

但是当x？当2=2时，x？1+x？2=4 x？1=2，和x不一样？1≠x？2矛盾。

所以不存在直线和曲线C同时与两点相切。

3?解析:注意a，b，c，d是多项式f(x)-5的根，所以我们可以构造一个多项式f(x)-5，然后用阶乘定理和反证法证明。

证明:从已知的，？f(x)-5是否应该=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)g(x)？其中g(x)是整系数多项式。

如果有一个整数k使得f(k)=8，即(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)g(k)=3。

但是质数3不能有超过四个不同的因子，这是矛盾的。

所以不存在整数k使得f(k)=8。

3逆f(x)=g(x)h(x)，？其中g (x)和h (x)是整数系数的线性表达式。

那么f(1)=g(1)h(1)，f(2)=g(2)h(2)，？f(3)=？g(3)h(3)，f(4)=g(4)h(4)，f(5)=g(5)h(5)，？

这五个方程的左端都是质数，所以g (1)，g (2)，g (3)，g (4)，g (5)，h (1)，h (2)，h (3)，？h(4)，h(5)？其中至少有五个是+/-1。由于g(x)是一个整系数的线性表达式，所以G (1)，G (2)，G (3)，G (4)，G (5)是不同的数，也就是最多一个是1，一个是-66。同理，h(1)，？h(2)？，h(3)，h(4)，h(5)，最多一个是1，一个是-1，矛盾。

所以反向假设不成立，所以原命题成立。