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几何级数的一般公式是:
an=a1 qn-1
前n个术语和公式是:
在几何级数中，等比项:
并且任意两项am和an之间的关系是an = am qn-m。
若等比数列的公比q满足0 < ∣ q < ∣ 1，则称此数列为无穷递归等比数列，其各种
项目总和(也称为所有项目的总和)的公式为:
从几何级数的定义、通项公式、前n项公式，我们可以推导出:
a 1 an = a2 an-1 = a3 an-2 =…= AK an-k+1，k∈{1，2，…，n}
如果m，N，p，q∈N*，则有:
ap aq=am an，
写出π n = a1 a2...安，然后就是
π2n-1=(an)2n-1，π2n+1 =(an+1)2n+1
另外，一个项都是正数的几何级数，取同一个底数，构成一个等差数列；另一方面，以任意一个正数C为基数，用一个等差数列的项作为指数来构造一个幂能，就是几何级数。在这个意义上，我们说一个正项几何级数和算术级数是“同构”的。
重要的不仅是两个基本数列的定义、性质和公式；而且求和过程中蕴含的数学思想方法和数学智慧极其珍贵，比如“倒加法”(等差数列)、“错位减法”(等比数列)。
级数主要有两类问题，一是求级数的通项公式，二是求级数的前n项之和。
第三，例子
示例1。设ap，aq，am，an为几何级数中的前P，Q，M，N项。如果p+q=m+n，证明:apoaq=amoan。
证明:设几何级数的第一项为a1，公比为Q，则
ap=a1 qp-1，aq=a1 qq-1，am=a1 qm-1，an=a1 qn-1
所以:
ap aq=a12qp+q-2，am an=a12 qm+n-2，
因此:AP AQ = am+an
注意:这个例子是几何级数的一个重要性质，在解题中经常用到。它表明几何级数中与两端等距的两项(前两项和后两项)的乘积等于前两项和后两项的乘积，即:
a1+k an-k=a1 an
对于等差数列来说，也是如此:在等差数列中，两项之和，比如距离两端的距离，等于第一项和最后一项之和。即:
a1+k+an-k=a1+an
例2。在等差数列中，A4+A6+A8+a 10+a 12 = 120，则2a9-a10=
a20 b . 22 c . 24 D28
解:a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8且已知或得到。
5a8=120，a8=24
以及2 a9-a 10 = 2(a 1+8d)-(a 1+9d)= a 1+7d = A8 = 24。
所以选c。
例3。给定等差数列满足a 1+A2+A3+…+a 101 = 0，则有()。
a . a 1+a 101 > 0 b . a2+a 100 < 0 c . a3+a99 = 0d . a 51 = 51
【2000年北京春季高考理工类(13)题】
解:很明显，a 1+A2+A3+…+a 101。
所以a1+a101=0，所以A2+a 100 = A3+A99 = a 1+a 101 = 0，选c。
例4。设Sn为等差数列的前N项，S9=18，An-4 = 30 (n > 9)，Sn=336，则N为()。
A.16 B.21 C.9 D8
解:由于S9=9×a5=18，a5=2，a5+an-4=a1+an=2+30=32，因此，n=21选择b。
例5。设等差数列满足3a8=5a13，且a1>0 > 0，Sn为其前N项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是()。(1995全国高中联赛第1号)
(A)s 10(B)s 11(C)s 20(D)s 21
解法:∫3 A8 = 5a 13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
因此
使an≥0→n≤20；当n > 20时，An < 0。
∴S19=S20最大值，选择(c)
注意:二次函数也可以用来求最大值。
例6。设等差数列的第一项和容差为非负整数，项数不小于3，项数之和为972，则这样的数列* * *有()。
2 (B)3 (C)4 (D)5。
【1997全国高中数学联赛第三题】
解法:设等差数列的第一项为A，容差为D，则根据题意有()。
即[2a+(n-1)d]on=2×972 (*)
因为n是不小于3的自然数，97是素数，所以数n的值必须是2×972的除数(因子)，只能是97、2×97、972、2×972中的一个。
若d > 0，则d≥1由公式(*)可知为2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)，所以只能有n=97，公式(*)可改为:a+48d=97。
如果d=0，公式(*)就变成:an=972，那么(*)也有两组解。
所以有4个等差数列* * *为这个问题设定了条件，分别是:
49，50，51，…，145，(***97项)
1，3，5，…，193，(**97项)
97，97，97，…，97，(**97项)
1，1，1，…，1(***972=9409项)
所以选(c)
例7。将正奇数集合{1，3，5，...}按(2n-1)奇数第n组从小到大:
, {3,5,7},{9,11,13,15,17},…
(第一组)(第二组)(第三组)
那么1991在群里。
【1991全国高中数学联赛第三题】
解法:根据题意，前n组有奇数。
1+3+5+…+(2n-1)=n2。
而1991=2×996-1，是第996个正奇数。
∵312=961<996<1024=322
∴1991应该属于31+1=32组。
所以填32
例8。一个正数，如果它的小数部分、整数部分和它本身都是几何级数，那么这个数就是。
【1989全国高中联赛第4题】
解法:设这个数为x，其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，已知为:x (x-[x] = [x] 2。
其中[x] > 0，0 < x-[x] < 1，则解为:
从0 < x-[x] < 1，
∴[x]=1，
因此，应该填写
例9。几何级数的第一项a1=1536，公比。如果用πn来表示其前N项的乘积，那么最大的πn(n∈N*)就是()。
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
【1996全国高中数学联赛试题】
解法:几何级数的通式是前n项之和。
因为
所以π12最大。
选择(c)
示例10。设x≠y和两个数列X，a1，a2，a3，Y和b1，X，b2，b3，Y和b4是等差数列，则=。
【1988全国高中联赛试题】
解:根据题意，y-x = 4(a2-a 1)∴；
以及y-x = 3 (B3-B2) VII。
∴
示例11。设x，y，Z y，Z为实数，3x，4y，5z为等比数列和等差数列，则的值为。【1992全国高中数学联赛试题】
解:因为3x，4y，5z成几何级数，所以有。
3x 5z = (4y) 2，即16y2=15xz ①。
和∵成等差数列，于是就有了(2)。
将②代入①得到:
∵x≠0，y≠0，z≠0
∴64xz=15(x2+2xz+z2)
∴15(x2+z2)=34xz
∴
示例12。已知集合M={x，xy，lg(xy)}和N={0,∣x∣,y}
并且M=N，则的值等于。
解法:从M=N，我们知道M中的一个元素应该是0，让lg(xy)有意义地知道xy≠0，从而x≠0，y≠0，所以只有lg(xy)=0，xy=1，m = {x，1。若y=1，则x=1，m = n = {0，1，1}与集合中元素的各向异性相连，所以y≠1，从而∣x∣= 6539；。X=1 y=1(含)，x=-1 y=-1，M=N={0，1，-1}
此时此刻，
因此
注:X，x2，x3，…，X2001系列；和
在x=y=-1的条件下，都是周期为2的循环序列，S2n-1=-2，S2n=0，所以2001并不可怕。
示例13。如果已知序列满足3an+1+an=4(n≥1)和a1=9，前n项之和为Sn，则满足不等式()。
∣ sn-n-6 ∣<最小整数n是()。
5 (B)6 (C)7 (D)8
解:【1994全国高中数学联赛试题】
从3an+1+an=4(n≥1)
3an+1-3=1-an
所以数列以8为首，是公比的几何级数，所以
当n=7时，满足要求，所以选择(c)。
【注意】:数列既不是等差数列，也不是等比数列，而是等差数列的两个对应项之和构成的数列:1，1，…，1和等比数列:具有相等的项，所以前n项和Sn可以转化为两个对应的已知数列之和。这里，观察一般的术语结构，利用变换的思想，将未知转化为未知。
示例14。设数列的前n项之和sn = 2an-1 (n = 1，2，...)，数列满足b1 = 3，bk+1 = AK+bk (k = 1，
【1996全国高中数学联赛复试第一题】
解法:从Sn=2an-1，设n=1，得到s 1 = a 1 = 2a 1-1，∴a1=1 ①。
且Sn=2an-1 ②
sn-1 = 2an-1-1③
②-③:Sn-Sn-1 = 2an-2an-1。
∴an=2an-2an-1
因此
∴级数是以a1=1为第一项，q=2为公比的几何级数，所以an=2n-1 ④。
到⑤
∴把上面的公式加起来，你会得到
注:本题综合运用a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)，等比例数列求和公式，叠加方法，从基础知识出发解决较复杂的问题。选准突破口，找到回归之路，来源于对基础知识的深刻概念及其联系的把握。
示例15。N2正数排列成N行N列。
a11，a12，a13，a14，…，a1n
a21，a22，a23，a24，…，a2n
a31，a32，a33，a34，…，a3n
a41，a42，a43，a44，…，a4n
an1，an2，an3，an4，…，ann .
其中每一行的数字是等差数列，每一列的数字是等比数列，所有的公比都相等。已知的
【1990全国高中数学联赛第一测试题4】
解法:设数列第一行的公差为D，纵行各数列公比为Q，则原N行N列表为:
因此，有:
② ÷ ③，代入①和②得到④。
因为所有的表都是正数，Q > 0，∴.因此，对于任意1≤k≤n，有
注S = a 11+A22+A33+…+ANN⑤
⑥
⑤-⑤:
也就是
点评:此题中的和，实际上是等差数列的an=n与等比数列对应项的乘积所形成的新数列的前n项之和。公式⑤两边乘以公比，再减去错项，就归结为几何级数的求法各。这种方法是求几何级数前n项之和的基本方法，在解决这类问题时很有用，应该掌握。教材P137复习参考题3 B组第6题题目为:Sum:S = 1+2x+3 x2+…+NXN-1；2003年北京高考理工类问题(16):已知数列为等差数列，A1 = 2，A1+A2+A3 = 12，(一)求数列的通式；(II)设BN = an xn (x ∈ r)，求数列前n项的求和公式。都贯穿着“错题减法”方法的应用。
练习
1.给定带q的几何级数(q≠1)，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，BN = A3n-2+A3n-65438+。
算术级数；(b)公比为q的几何级数。
(c)公共比率为q3的几何级数；(d)等差数列和几何数列。
【1999全国高中数学竞赛】
2.等差数列的前m项之和是30，前2m项之和是100，那么它的前3m项之和是()。
130 b . 170 c . 210d . 260
[1996全国高考]
3.在等差数列中，a1=2，容差不为零，a1，a3，a11正好是一个等比数列的前三项，那么这个等比数列的公比的值等于。
【2002年北京高考理工数学14题】
4.已知的数列是等差数列，而a1=2，a1+a2+a3=12。
(I)求数列的通项公式；
(II) (text)设BN = an 3n，求数列前n项之和的公式；
设bn = an xn (x ∈ r)，求一个数列前n项之和的公式。
【2003年北京夏季高考数学第16题】
5.总和:
(1)S = 1+2x+3 x2+…+nxn-1
【数学教材第一册(一)P137复习参考题3 B组第6题】
(2)求数列前n项的和Sn:1，6，27，…，n-3n-1。
6.已知正整数n不超过2000，可以表示为不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数就是【1999全国高中数学竞赛题】。
7.项为实数的等差数列的容差为4，第一项与其他项的平方和不超过100。这样的级数最多有项。【1998全国高中数学竞赛】
参考答案
1.(三)
2.(三)
3.4
4.(I)an=2n
㈡
5.
6.6
7.8