高二几何数学解题(向量法)

四角锥的底面P-ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，e在边PB上(设空间矢量)。

(1)验证:平面AEC⊥平面PDB(法向量法)

(2)当PD=√(根号)2AB，E是PB的中点时，求AE与平面PDB(集合向量)所成的角。

(1)解析:∵四边形的P-ABCD的底是正方形，PD⊥ ABCD的底。

建立以D为原点，DC为X轴，DA为Y轴，DP为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz。

设AB=1。

然后点坐标:

D(0，0，0)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)

P(0，0，z1)，E(x，y，z)

向量PD=(0，0，-z1)，向量PB=(1，1，-z1)。

设向量m是表面PDB的法向量:

向量m=向量PD×向量PB=(z1，-z1，0)

向量EA=(-x，1-y，-z)和向量EC=(1-x，-y，-z)。

设向量n是曲面EAC的法向量:

向量n=向量EA×向量EC=(-z，-z，x-y-1)

向量m*向量n=-zz1+zz1+0=0。

∴向量m⊥向量n，∴平面AEC⊥平面PDB

(2)解析:∫PD =√2，e为PB的中点。

然后点坐标:

D(0，0，0)，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)

P(0，0，√2)，E(1/2，1/2，√2/2)

向量EA = (-1/2，1/2，-√2/2)= > |向量EA|=1

向量m=(√2，-√2，0)= = & gt；向量m|=2

向量EA*向量m=-√2

Cos & lt向量EA，向量m & gt=(向量EA*向量m)/(|向量EA|*|向量m|)=-√2/2

∴AE与平面PDB成45°角。