数学专业考研试题

正确的说法是

lim{n->oo} int[0，pi/2]f(x)*(1/2+cosx+cos2x+...+cosnx)dx = pi/2*f(0)

首先代入常数函数当然是对的，然后把积分逐项求和后求极限。

对于一般的F，首先要求和。

1/2+cosx+cos2x+...+cosnx = sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]

只要能证明

lim{n->oo} int[0，pi/2][f(x)-f(0)]* sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]dx = 0

去做吧。实际上

[f(x)-f(0)]* sin[(2n+1)x/2]/[2sin(x/2)]=[f(x)-f(0)]/x * x/[2sin(x/2)]* sin[(2n+1)x/2]

用f在0处可以知道[f(x)-f(0)]/x * x/[2sin(x/2)]是连续函数，结论由黎曼引理成立。

Sin[(2n+1)x/2]/sin(x/2)称为狄利克雷核。如果你不熟悉这部分，复习一下傅立叶级数。