2012数学联赛试题及各题详解
首次尝试
1.选择题:(此题满分42分，每小题7分)
1.已知，，，则大小关系为(c)
A.B. C. D。
2.方程的整数解的个数是(b)
A.3. B.4. C.5. D.6
3.已知正方形ABCD的边长为1，e为BC边延长线上的一点，ce = 1，AE连通，它与CD相交于F点，BF连通并延伸与线段de相交于G点，则BG的长度为(D)。
A.B. C. D。
4.已知实数满足，则最小值为(b)
A.。b . 0 c . 1。d。
5.如果满足方程的两个不相等的实根，则实数所有可能值之和为(b)。
答:0. B。c。d。
6.1、2、3、4四个数字构成四位数(数字可以重复使用)，要求满足。这样的四位数* * *有(c)。
A.36、B.40、C.44和D.48
填空:(此题满分28分，每小题7分)
1.众所周知，互不相等的实数满足。
2.设完全平方的整数个数为1。
3.在△AB=AC中，已知AB=AC，∠ A = 40，P是AB上面的一点，∠ ACP = 20，则=。
4.已知实数满足，，，则=。
第二个测试(一)
1.众所周知，直角三角形的边是整数，周长是30。求其外接圆的面积。
如果直角三角形的三条边的长度是()，那么。
显然，三角形外接圆的直径就是斜边的长度。
渐渐地，所以。
渐渐地，所以。
因为它是整数，所以。
根据勾股定理，我们可以代入并简化，所以
,
因为都是整数和，只能求解。
所以直角三角形的斜边长，三角形的外接圆面积为。
(此题满分25分)如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP在d点，证明:
证明:连接OA，OB，OC
∵OA⊥AP、AD⊥OP、∴可以通过射影定理得到。
由切线定理还可以得出，∴，∴D，b，c，o是四点* * *圆，
∴∠pdb=∠pco=∠obc=∠odc,∠pbd=∠cod,∴△pbd∽△cod，
∴ ,∴ .
3.(本题满分为25)已知抛物线的顶点为p，与轴的正半轴相交于A点和B点()，与轴相交于C点，PA为△ABC的外接圆的切线。设m，若AM//BC，求抛物线的解析式。
解决方法很容易找到p点和c点。
设△ABC的外接圆的圆心为D，那么P点和D点都在线AB的中垂线上，D点的坐标为。
很明显，一个变量有两个二次方程，所以AB的中点e的坐标是，所以AE =。
因为PA与⊙D相切，所以用射影定理可以得到PA⊥AD和AE⊥PD，也就是很容易知道，所以可以得到。
也是由da = DC推导出来的，即代入后可解(另一个解丢弃)。
因为AM//BC，所以，也就是。
替换该溶液(另一溶液被丢弃)。
因此，抛物线的解析式为。
第二个测试(b)
1.(此题满分为20)已知直角三角形的边长为整数，周长为60。求其外接圆的面积。
如果直角三角形的三条边的长度是()，那么。
显然，三角形外接圆的直径就是斜边的长度。
渐渐地，所以。
渐渐地，所以。
因为它是整数，所以。
根据勾股定理，我们可以代入并简化，所以
,
因为都是整数and，所以只能是or。
求解或
当，三角形外接圆的面积为；
当，三角形的外接圆的面积是。
如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP在d点，△ADC与BC的外接圆的另一交点为e .证明:∠ BAE = ∠ ACB。
证明:连接OA，OB，OC，BD。
∵OA⊥AP、AD⊥OP、∴都可以从射影定理中得到。
, .
根据切割线定理，
∴，∴D，b，c，o四点* * *圈，
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，
∠PBD=∠COD,∴△PBD∽△COD，∴，
∴ ,∴ .
∠ BDA =∠ BDP+90 =∠ ODC+90 =∠ ADC，∴△BDA∽△ADC，
∴∠ Bad =∠ ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠ BAE = ∠ ACB。
3.(此题满分为25)题型及解法同卷(a)第三题。
第二个测试(c)
1.(此题满分为20)题型及解法同卷(b)第一题。
2.(本题满分为25)题型及解法同卷(b)第二题。
3.(本题满分25分)已知抛物线的顶点为p，与轴的正半轴相交于A点和B点()，与轴相交于C点，PA为△ABC的外接圆的切线。将抛物线向左移动一个单位，新的抛物线将与原抛物线相交于点Q，且∠ QBO = ∠ OBC。求抛物线的解析公式。
解抛物线的方程，也就是so点p，点c。
设△ABC的外接圆的圆心为D，那么P点和D点都在线AB的中垂线上，D点的坐标为。
很明显，一个变量有两个二次方程，所以AB的中点e的坐标是，所以AE =。
因为PA与⊙D相切，所以用射影定理可以得到PA⊥AD和AE⊥PD，也就是很容易知道，所以可以得到。
也是由da = DC推导出来的，即代入后可解(另一个解丢弃)。
将抛物线向左平移个单位后，新的抛物线为
。
很容易发现两条抛物线的交点是q。
从∠ qbo = ∠ obc可以得到∠ qbo = ∠ obc。
QN⊥AB，竖脚是n，然后n，再来，如此。
∠QBO= =
。
∠ OBC =再次，所以
。
解决(另一种解决方式，放弃)。
因此，抛物线的解析式为。