初三数学第二十四章「圆」学习时，给题目加辅助线有什么规律和技巧？

(1)用弦，经常引用的辅助线有:弦的末端半径；垂直于弦的直径(或弦中心距离)。功能:形成直角三角形或使用垂直直径定理。记忆公式:圆不难证明，半径和直径往往是连在一起的；如果有和弦，如果你想要和弦中心距，它会垂直分割和弦；例1:如图1，AB是⊙O的弦，P是AB上面的点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm。求⊙ o的半径【正则解】在c中做OC⊥BA，接OA。那么在Rt△AOC和Rt△POC中，AO2-AC2=OP2-CP2就是AO2-52=52-(5-4)2。∴ AO=7 .即⊙O的半径为7cm。例2: AB = CD已知，M和N分别是AB和CD的中点。验证:∠AMN=∠CNM【规范解】m和n分别是OM⊥AB和ON⊥CD，垂足是m，n∶ab = cd,∴om=on，∴∠omn =∞。∵OM⊥AB、ON⊥CD∴∠OMA=∠ONC=90 ∴∠AMN=∠CNM。(2)用直径，经常引用的辅助线是:直径对应的圆周角。功能如图:得到一个直角或直角三角形。记忆公式:满足直径时做直角例题3: (2007年中考)①AD为圆O的直径，BC切圆O在D，AB，AC与圆O相交于E，f点验证:AE ab = af AC。启示:AD是直径，是结构直径的圆周角。【典范解】连线DE，df∶ad是df⊥ac. ∴de⊥ab的圆o的直径∫BC相切于点d的圆o，AD是圆o的直径，∴AD⊥BC.∴根据射影定理，有Ad2 = AE AB和Ad2 = AF AC。∴AE AB=AF AC .例4:已知⊙O1和⊙O2相交于A点和B点，O2在⊙O1上。AD是⊙O2的直径，连接DB，延伸⊙O1的交点到c，证明:CO2⊥AD.启示:AD是直径，是结构直径的圆周角。【规范解】连接ab∶ad是∶O2直径∴∠ABD是直角∴∠ABC是直角∠ABC和∠A02C是同一圆弧上的圆周角∴∠AO2C是直角∴ CO2 ∴.穿过切点的弦。作用:用与切点垂直的切线的半径求直角或直角三角形或弦切角。记忆公式:要证明圆的切线，竖半径通过外端，直线和圆有* * *点，证明半径是竖的，直线和圆都不是给定点，所以竖直线证明半径。例5:RtδABC中∠b = 90°，∠A的平分线在D处与BC相交，E为AB上方的一点，以D为圆心，DB长为半径。证明:AC是⊙ D的切线启示:圆上没有点，切线可以通过垂直证明半径得到。【规范解法】设d点为f中的DF⊥AC，∫∠b = 90∴db⊥ab。而∵AD是∠BAC的角平分线df ∵ AC ∴ db = df。∵DB是⊙D的半径，∴DF也是⊙ d的半径所以AC是⊙ d的切线(4)两圆相交时，经常引用的辅助线有:公* * *弦；连欣线函数:①用连接线垂直平分公弦；(2)使其在圆弧上出现圆角或形成圆内接四边形，沟通两个圆的关系。例6:如图，两个圆相交于B和C，AC在C处截小圆，ABE在E处截小圆，甚至CE在D处截大圆..证明:AC = AD。启示:既然AC和AD形成了三角形，那么只需要证明∠ ACD = ∠ ADC。但是因为这两个角都是大圆的圆周角。所以要寻求他们与小圈子的关系。观察图形，可以发现∠ CDA = ∠ E+∠ DAE。这样问题就转化成了关于两个圆的角度的问题，所以需要做一个共弦，借助圆周角定理和正切角定理来解决问题。例7:已知⊙O1和⊙O2相交于A和B，穿过A的直线分别相交于C和D，连接BO1、BC、BO2和BD。验证:∠CBD=∠O1BO2启示:在两个圆相交的图形中，弦是重要的辅助线。因为弦的关系，这两个圆的角度在数量上是相关的。也就是说，弦连接后的外角等于内对角线或中间角。另外，两个圆相交，连线垂直平分弦，可以丰富已知条件。(5)有两个圆的公切线时，经常引用的辅助线是以中心距为斜边，以两个圆的公切线长度与半径之和(或差)为右边长的直角三角形。如图所示。函数:利用勾股定理或三角函数计算相关量。(6)当两个圆(或多个圆)相切时，经常引用的辅助线有:切点引出两个圆的公切线；做一条连接两个圆的线。如图(1)、(2)、(3)。功能:连接圆的角度与弦切线的角度，连接两个圆之间的关系。例8:如图所示⊙O1和⊙O2与a相切，BC为⊙O1和⊙O2的公切线，b和c为切点，(一)验证:ab⊥AC；(II)如果r1和r2分别是⊙O1和⊙O2的半径，r1=2r2，求■的值。辅助线小贴士:记忆公式:如果遇到圆和圈，找准位置很重要。两圆相切为公切线，两圆相交为公弦线。