2009年福建数学科学解题
(2)存在性问题，结合观察f(x)的像，有助于分析问题。
解法:解法:(1)根据题意，F′(x)= x2+2ax+b，
由f′(-1)= 1-2A+B = 0，得到b=2a-1。
所以f(x)= 13x 3+AX2+(2a-1)x，
所以f′(x)=(x+1)(x+2a-1)。
设f′(x)= 0，x=-1或x=1-2a。
①当a > 1，1-2a时
当x变化时，根据f′(x)和f(x)的变化，
函数f(x)的单调递增区间为(-∞，1-2a)和(-1，+∞)，单调递减区间为(1-2a，-1)。
(2)当a=1时，1-2a=-1。此时F′(x)≥0为常数，只有在x=-1时F′(x)= 0，所以函数f(x)的单调递增区间为r，
③当a < 1，1-2a > -1时，可用同样方法求得。函数f(x)的单调递增范围为(-∞，-1)和(1-2a，+∞)。
单调递减区间为(-1，1-2a)。
综上:当a > 1时，函数f(x)的单调递增范围为(-∞，1-2a)和(-1，+∞)，单调递减范围为(1-2a，-1)；
当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为r；
当a < 1时，函数f(x)的单调递增范围为(-∞，-1)和(1-2a，+∞)，单调递减范围为(-1，1-2a)。
(2) (I) f(x)=13x3-x2-3x从a=-1。
设f′(x)= x2-2x-3 = 0得到x1=-1，x2=3。
从(1)开始，f(x)的递增区间为(-∞，-1)和(3，+∞)，单调递减区间为(-1，3)。
所以函数f(x)在x1=-1，x2=3处取极值，所以m (-1，53)，N(3，-9)。
观察f(x)的图像，有以下现象:
(1)当m从-1(不包括-1)变为3时，直线mp的斜率与曲线f(x)在P点的切线的斜率之差Kmp-f'(m)的值从正变为负。
(2)线段MP与不同于H和P的曲线之间是否存在共同的* *点，与KMP-F′(M)的正负M密切相关；
③KMP-f′(M)= 0对应的位置可能是临界点，因此推测满足KMP-f′(M)的M是T的求最小值，下面给出证明和确定的T的最小值和曲线f(x)在P(m，f(m) = m2-2m-3点的切线斜率。
线段的斜率KMP MP = m2-4m-53，
当KMP-f′(m)= 0时，解是m=-1或m=2。
直线MP的方程是y=(m2-4m-53x+m2- 4m3)，
设g(x)=f(x)-(m2-4m-53x+m2- 4m3)，
当m=2时，G′(x)= x2-2x在(-1，2)处只有一个零点，因此可以判断f(x)函数在(-1，0)处单调递增，在(0，2)处单调递减，G (-)。
当m∑(2，3)，g(0)=-m∑(2-4 m3 > 0时，
g(2)=(m-2)2 < 0，
所以有δ∈ (0，2)所以g(δ)=0，
即当m ∈ (2，3)，MP和曲线f(x)有不同于m和p的共同点。
综上所述，t的最小值为2。
(二)类似于(1)中的观察，可以得出m的取值范围为(1，3]。
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