数形结合思想方法在解决数学问题中的作用

1.数形结合是解决数学问题的一种常见思维方式。数形结合可以使一些抽象的数学问题变得直观生动，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于数形结合，很多问题很容易解决，解法简单。

2.所谓数形结合，就是根据数形对应关系，通过数形相互转化来解决数学问题的思想，往往与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)功能与形象的对应；(3)曲线与方程的对应关系；(4)基于几何元素和几何条件的概念，如复数、三角函数等；(5)给定方程或代数表达式的结构具有明显的几何意义。如方程式。

3.纵观多年高考题，巧妙地运用数形结合的思维方法解决一些抽象的数学问题，可以事半功倍。数形结合的重点是研究“以形助数”。

4.数形结合的思维方法应用广泛。比如在解方程和不等式中，在求函数的值域和最大值中，在求复数和三角函数中，运用数形思维，不仅可以直观地找到解题方法，还可以避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。这在解决选择题和填空题上更有优势。我们要注意培养这种思想意识，努力在脑海中有一个画面来开阔思维视野。

实例分析

示例1。如果关于的两个方程在中间，求的取值范围。

解析:设，像与轴的交点横坐标为方程的解。从图像中可以看出，要使他们两人处于中间，就

同时被确立，被解决，因此。

例2。解决不等式

常规解法:原不等式等价于(I)或(II)

获得溶液(I );求解(二)

综上所述，原不等式的解集为

数形结合解法:设，那么不等式的解法就是制作上图的线段对应的横坐标。

如下图所示，不等式的解集是并且可以从解中得到，所以不等式的解集是。

例3。如果已知，方程的实根数是()

A.1 B. 2 C. 3 D. 1或2或3。

解析:判断方程的根的个数就是判断图像的交集的个数，画两个函数图像。很容易知道两幅图像只有两个交点，所以方程有两个实根，所以选b。

例4。如果满足实数，的最大值是()。

A.B. C. D。

解析:方程有明显的几何意义。它代表坐标平面上的一个圆，圆心为，半径(如图)，而它代表圆上的点与坐标原点(0，0)连线的斜率。这样，问题就可以转化为如下几何问题:动点在圆心为(2，0)，半径为的圆上运动，求直线的最大斜率。

例5。已知满足的最大值和最小值。

解析:构造直线截距的方法常用于解决二元函数在有限条件下求最大值的问题。

于是，原问题转化为:在椭圆上找一点，使通过该点的直线斜率为3，轴上截距最大或最小。从图中可以看出，直线与椭圆相切时，有最大截距和最小截距。

from，from，from的最大值是13，最小值是。

例6。如果你组装，组装。

，的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _。

解析:很明显，它代表的是圆心为(0，0)，半径为3的圆在轴上方的部分(如图)，而它代表的是一条有斜率和纵向截距的直线，从图中很容易知道。如果要做成，说明直线和半圆有一个共同点，明显的最小近似值是，也就是最大值是。

例7。点是椭圆上的一个点，它到其中一个焦点的距离是2，是的中点，表示原点，那么()。

A.公元前4年第8天

解析:(1)设椭圆的另一个焦点为(如下图)，则

还要注意每个的中点。

是的中线

(2)如果联想到第二个定义，可以先确定点的坐标，再计算中点的坐标，最后用两点间的距离公式来计算，但这样增加了计算量，方法相对于(1)有些复杂。

例8。给定复数的模和角的主值的范围满足。

解析:由于其几何意义明显，表示复数对应的点与复数对应的点之间的距离，所以复数对应的点在以(2，2)为圆心和半径的圆上(如下图所示)，它表示复数对应的点到原点的距离。很明显，当点、中心、三点* *线满足时，得到最大值。

的取值范围是

同样，当一个点在圆上运动时，当且仅当一条直线与圆相切时，该点在切点处的径向角的主值得到最大值，用直线与圆的切线来计算得到，即

也就是

例9。求函数的值域。

解法一(代数法):从，

，解决不平等

该函数的范围是

解法二(几何法):的形式类似斜率公式，表示一条直线通过两点的斜率。

因为点在单位圆上(见下图)

很明显，

若圆的切线方程设为，则有，求解得到。

也就是

函数值域是

示例10。求函数的最大值。

解析:由于等号右端的根号中的线性公式相同，无法转换为一元二次函数求最大值；如果公式平方，会使问题复杂化，用常规方法很难解决问题。考虑到公式中有两个根号，可以用两步替换元素。

解决方案:设置，然后

和

给定的函数转化为一族带参数的直线，这些直线与椭圆在第一象限的部分(包括端点)有一个公共点(如图)。

当与第一象限相切时，取最大值。