高中函数值域的求解

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和相应的规律决定的。研究函数的值域，不仅要注意对应规则的作用，还要特别注意定义值域对值域的限制。确定函数的值域是函数研究中不可缺少的一部分。如何求函数的值域是学生很头疼的问题。它涉及的知识面广，方法灵活，在高考中经常出现，占有一定的地位。如果方法运用得当，可以简化操作过程，避免繁琐，事半功倍。本文将函数值域的解法总结如下，以供参考。

1.直接观察法

对于一些简单的函数，它们的值域可以通过观察得到。

示例1。求函数的值域。

解决方案:ⅽ

∴

显然，函数的范围是:

例2。求函数的值域。

解决方案:ⅽ

因此，该函数的范围是:

2.匹配方法

匹配法是求二次函数值域的最基本方法之一。

例3。求函数的值域。

解决方法:将函数公式放入:

∵

根据二次函数的性质，当x=1时，

因此，函数的范围是:[4，8]

3.判别方法

例4。求函数的值域。

解法:将原函数转化为关于x的一元二次方程。

(1)当，

解决方案:

(2)当y=1时，并且

因此，该函数的范围是

例5。求函数的值域。

解:两边平方:(1)

∵

∴

解决方案:

但是此时函数的定义域是由，和决定的。

所以只保证关于X的方程:实数集合R中有一个实根，但不能保证在区间[0，2]中有实根，即不能保证方程(1)有实根，且得到的值域可能大于Y的实际值域，所以这个函数的值域不能确定为。

原函数的值域可以通过以下方法进一步确定。

∵

代入方程(1)

解决方案:

也就是说，当，

原始函数的范围是:

注:用判别式法判断函数的值域时，如果原函数的定义域不是实数集，则应合成该函数的定义域，并剔除扩大部分。

4.反函数方法

当难以直接求函数的值域时，可以通过求其反函数的定义值域来确定原函数的值域。

例6。求函数范围。

解决方案:从原始函数:

它的反函数是:，定义域是:

因此，该函数的范围是:

5.函数有界方法

当难以直接求出函数的值域时，可以利用所学函数的有界性来确定函数的值域。

例7。求函数的值域。

解决方案:从原始函数:

∵

∴

解决方案:

因此，该函数的范围是

例8。求函数的值域。

解法:从原函数可以得到:，可以转化为:

也就是

∵

∴

也就是

解决方案:

因此，该函数的范围是

6.函数单调性方法

例9。求函数的值域。

解决方案:订单

在[2，10]中是递增函数。

所以它是[2，10]上的增函数。

当x=2时，

当x=10时，

因此，该函数的范围是:

示例10。求函数的值域。

解决方法:原函数可以简化为:

秩序，显然在世界中起着至高无上的递增作用。

因此，它也是世界上最高的递增函数。

所以当x=1时，有最小值，原函数有最大值。

显然，原函数的范围是

7.替代方法

通过简单的代换，将一个函数变成一个简单的函数，其题型用含有根式的分解函数或三角函数模型的公式来表征。换元法是最重要的数学方法之一，在求函数的值域时也起着作用。

示例11。求函数的值域。

解决方法:订单，

规则

∵

同样，从二次函数的性质，我们可以知道

什么时候，

什么时候，

因此，该函数的范围是

示例12。求函数的值域。

解决方案:原因

也就是

因此，您可以让

∴

∵

因此，该函数的范围是

示例13。求函数的值域。

解:原函数可以转化为:

能搞，有。

什么时候，

什么时候，

而这时候就说得通了。

因此，该函数的范围是

示例14。求函数的值域。

解决方案:

那就点菜吧

经过

和

可用:

当，当，

因此，函数的范围是。

示例15。求函数的值域。

解决方案:来自，可用

因此，您可以让

∵

什么时候，

什么时候，

因此，该函数的范围是:

8.数形结合法

题型是分辨函数，有明显的几何意义，比如两点的距离公式，一条直线的斜率。这种问题如果把数和形结合起来，往往会简单明了，赏心悦目。

例16。求函数的值域。

解决方法:原函数可以简化:

上面的公式可以看作是数轴上点P(x)到固定点A(2)的距离之和。

从上图可以看出，当点P在线段AB上时，

当点p在线段AB的延长线或反向延长线上时，

因此，该函数的范围是:

示例17。求函数的值域。

解:原函数可以转化为:

上面的公式可以看作是X轴上的一点到两个固定点的距离之和。

从图中可以看出，当点P是线段和X轴的交点时，

因此，该函数的范围是

示例18。求函数的值域。

解决方案:将函数转换为:

上面的公式可以看作是不动点A (3，2)到点P (x，0)的距离与不动点到点的距离之差。

即:

从图中可以看出:(1)当点P在X轴上，且不是直线AB与X轴的交点，如一个点，则形成。根据三角形的两条边比第三条边小，有

即:

(2)当P点恰好是直线AB与X轴的交点时，则有

综上所述，我们可以看到，函数的范围是:

注:由例17和18可知，计算两个距离之和时，函数要变形，使A点和B点在X轴的两侧，而计算两个距离之差时，A点和B点要在X轴的同侧。

例如:例17中A点和B点的坐标为:(3，2)，在X轴的同一侧；例18的A点和B点的坐标分别为(3，2)，在X轴的同一侧。

9.不等式方法

利用基本不等式，可以求出函数的最大值。题型特征的解析式要求乘积为和时为定值，解析式要求乘积为和时为定值，但有时需要拆分项、加项、两边平方等技巧。

示例19。求函数的值域。

解决方案:将原始函数转换为:

惟一可能是

也就是当等号成立时。

因此，原始函数的范围是:

例20。求函数的值域。

解决方案:

等号成立当且仅当，即当。

可从以下位置获得:

因此，原始函数的范围是:

10.一对一映射

原理:因为在定义域中X和Y是一一对应的。因此，如果一个变量的范围是已知的，那么另一个变量的范围也是可以找到的。

例21。求函数的值域。

解答:∫域为

允许

因此或

解决

因此，该函数的范围是

11.各种方法的综合应用

例22。求函数的值域。

解决方案:那么，订购

(1)当且仅当t=1，即当是等号时，所以

(2)当t=0时，y=0。

综上所述，函数的范围是:

注意:先替换元素，再用不等式方法。

例23。求函数的值域。

解决方案:

那就点菜吧

∴在适当的时候，

什么时候，

此时两者都存在，所以函数的范围是

注:本题先用换元法，再用搭配法，再用有界性。

总之，在求一个函数的值域时，首先要仔细观察它的题型特点，然后选择合适的方法。一般以直接法、函数单调性法、基本不等式法为主，再考虑其他特殊方法。