中考数学重点

乘法和因式分解

①(a+b)(a-b)= a2-B2；②(a b)2 = a2 2ab+B2；③(a+b)(a2-a b+B2)= a3+B3；

④(a-b)(a2+a b+B2)= a3-B3；a2+B2 =(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab .

电源的操作特性

①am×an = am+n；②am÷an = am-n；③(am)n = amn；④(ab)n = anbn；⑤()n =；

⑥ A-n =，特别是:()-n =()n；⑦a0=1(a≠0)。

二次根式

①()2 = a(a≥0)；②=ߘaߘ；③=×;④=(a>0，b≥0).

三角形不等式

| a |-| b |≤| a b|≤| a |+| b |(定理)；

加强条件:|| a |-| b || ≤| a b |≤| a |+| b |也成立，这个不等式也可以称为向量三角不等式(其中A和B分别为向量A和向量B)。

| a+b |≤| a |+| b |；| a-b |≤| a |+| b |；| a |≤b & lt；= & gt-b≤a≤b；

| a-b |≥| a |-| b |；-| a |≤a ≤| a |；

某些级数的前n项之和。

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n = n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)= N2；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)= n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+N2 = n(n+1)(2n+1)/6；

13+23+33+43+53+63+…n3 = N2(n+1)2/4；1 * 2+2 * 3+3 * 4+4 * 5+5 * 6+6 * 7+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)/3；

一元二次方程

对于等式:ax2+bx+c = 0:

①求根公式为x =，其中△ = b2-4ac称为根的判别式。

当△ > 0时，方程有两个不相等的实根；

当△ = 0时，方程有两个相等的实根；

当△ < 0时，方程没有实根。注:当△≥0时，方程有实根。

②若方程有两个实根x1和x2，则二次三项式AX2+BX+C可分解为a (X-X1) (X-X2)。

(3)一个有A和B的根的二次方程是x2-(A+B) X+AB = 0。

线性函数

线性函数y = kx+b (k ≠ 0)的图像是一条直线(b是直线与Y轴交点的纵坐标，称为截距)。

①当k > 0时，y随着x的增大而增大(直线从左向右上升)；

②当k < 0时，y随着x的增大而减小(直线从左到右减小)；

③特别是:当b = 0时，y = kx (k ≠ 0)也叫比例函数(y与x成正比)，像必过原点。

反比例函数

反比例函数y = (k ≠ 0)的图像称为双曲线。

(1)当k > 0时，双曲线在一个或三个象限内(在每个象限内，从左向右下降)；

②当k < 0时，双曲线在第二和第四象限(在每个象限中，从左向右上升)。

二次函数

(1).定义:一般来说，如果是常数，称为的二次函数。

(2)抛物线三要素:开口方向、对称轴、顶点。

①的符号决定了抛物线的开口方向:此时开口向上；当时开口是向下的；

相等，抛物线的开口大小和形状相同。

②记录一条平行于轴(或重合)的直线。特别地，轴被记录为直线。

(3).几个特殊二次函数的图像特征如下:

解析函数开启方向对称轴的顶点坐标

在那时

开发

在那时

开口向下(轴)(0，0)

(轴)(0，)

(,0)

(,)

()

(4)抛物线顶点和对称轴的求法。

①公式法:∴顶点为，对称轴为一条直线。

②匹配法:利用公式法，将抛物线的解析表达式转化为形式，顶点为(，)，对称轴为直线。

③利用抛物线的对称性:由于抛物线是有对称轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点为顶点。

如果已知抛物线上的两点(且y值相同)，对称轴方程可表示为:

(5).抛物线的作用。

①确定开口方向和开口大小，与中完全相同。

(2)和* * *都决定了抛物线对称轴的位置。因为抛物线对称轴是一条直线。

所以:①，对称轴是轴；(2)(即符号相同)，对称轴在轴的左侧；(3)(即符号不同)，对称轴在轴的右侧。

③大小决定了抛物线与轴线相交的位置。

当时，∴抛物线和轴线只有一个交点(0，):

(1)、抛物线通过原点；②、与轴相交的正半轴；③轴线与负半轴相交。

以上三点，结论和条件互换时，依然成立。如果抛物线的对称轴在轴的右边，那么。

(6).用待定系数法求二次函数的解析表达式。

①通式:给定图像上三点或三对的值，通常选择通式。

②顶点:已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点。

③交点:图像与轴线的交点坐标已知，通常选择交点。

(7).直线和抛物线的交点

①轴与抛物线的交点为(0，)。

(2)抛物线与轴线的交点。

二次函数图像和轴之间的两个交点的横坐标对应于一元二次方程。

抛物线与轴的相交可以通过对应一元二次方程根的判别式来判断:

a有两个交点()抛物线与轴相交；

b有交点(顶点在轴上) ()抛物线与轴相切；

c没有交点()且抛物线与轴分离。

③平行于轴线的直线与抛物线的交点。

像②，可能有0个交点，1个交点，2个交点。当有2个交点时，两个交点的纵坐标相等。如果纵坐标是，横坐标就是两个实根。

(4)线性函数的图像和二次函数的图像的交集由以下方程的解的数量确定:

方程组A有两个不同的解和两个交点；

当B方程组只有一组解时，与它只有一个交集；

c方程无解无交集。

⑤抛物线与轴的两交点距离:若抛物线与轴的两交点为，则

初步统计

(1)概念:①所有要考察的对象称为总体，其中每个要考察的对象称为一个个体。从总体中抽取的一些个体称为总体的样本，样本中个体的数量称为样本量。②在一组数据中，出现次数最多(有时不止一个)的数字称为这组数据的众数。③按大小顺序排列一组数据，放中间数。

(2)公式:如果有n个数x1，x2，…，xn，则:

①平均值为:

②范围:一组数据的范围是通过数据的最大值减去最小值得到的差值来反映的。这种方法得到的差值叫做range，即range =最大值-最小值；

③方差:数据的方差，...，是，

然后=

④标准差:方差的算术平方根。

数据的标准偏差，...,

然后=

一组数据的方差越大，这组数据的波动性和不稳定性就越大。

频率和概率

(1)频率

Frequency =，各组频率之和等于总数，各组频率之和等于1，频率分布直方图中每个小矩形的面积就是各组的频率。

(2)概率

(1)如果事件A的概率用P表示，则0≤P(A)≤1；

p(必然事件)= 1；p(不可能事件)= 0；

②理解概率在具体情况下的含义，用列举法(包括列表和画树形图)计算简单事件的概率。

③重复实验的频率可以看作是对事件发生概率的估计；

锐角三角形

①设∠A为△ABC的任意锐角，则∠A的正弦:sinA= =，∠A的余弦:cosA= =，∠A的正切:tana =。而SIN2A+COS2A = 1。

0 < Sina < 1，0 < COSA < 1，Tana > 0。∠ A越大，∠A的正弦和正切越大，但余弦值越小。

②余角公式:sin(90？-A)=cosA，cos(90？-A)=新浪.

③特殊角度的三角函数值:sin30？=cos60？=，sin45？=cos45？=，sin60？=cos30？=,

tan30？=，tan45？=1，tan60？=。

④坡度坡度:I = =。设倾斜角为α，则I = tan α =。

正弦(余弦)定理

(1)正弦定理A/Sina = b/sinb = c/sinc = 2r；注:其中r代表三角形外接圆的半径。

正弦定理的变形公式:(1) A = 2RSINA，B = 2RSINB，C = 2RSINC(2)新浪:sinB : sinC = a : b : c

(2)余弦定理B2 = A2+C2-2 accosb；a2 = B2+C2-2 bcco sa；C2 = a2+B2-2 ABC OSC；

注意:∠C与C相反，∠B与B相反，∠A与A相反。

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)= Sina cosb+cosa sinb sin(A-B)= Sina cosb-sinb cosa

cos(A+B)= cosa cosb-Sina sinb cos(A-B)= cosa cosb+Sina sinb

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctg B+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctg B-ctgA)

双角度公式

tan2A = 2 tana/(1-tan2A)ctg2A =(ctg2A-1)/2c TGA

cos2a = cos2a-sin2a = 2 cos2a-1 = 1-2 sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差积

sinA+sinB = 2 sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB = 2 cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB = sin(A+B)/cosa cosb tanA-tanB = sin(A-B)/cosa cosb

ctgA+ctgBsin(A+B)/Sina sinb-ctgA+ctgBsin(A+B)/Sina sinb

乘积的和与差

2 Sina cosb = sin(A+B)+sin(A-B)2 cosa sinb = sin(A+B)-sin(A-B)

2 cosa cosb = cos(A+B)-sin(A-B)-2 sinasinb = cos(A+B)-cos(A-B)

平面直角坐标系的相关知识

(1)对称性:若直角坐标系中有一点P(a，b)，点P关于X对称为P1(a，-b)，点P关于Y对称为P2 (-a，b)，点P关于原点对称为P3 (-a，-b)。

(2)坐标平移:若直角坐标系中的一点P(a，b)向左平移H个单位，坐标变为P (a-h，b)，向右平移H个单位，坐标变为P (a+h，b)；向上平移H个单位，坐标变成P(a，b+h)，向下平移H个单位，坐标变成P(a，b-h)。例如，如果A点(2，-1)向上平移2个单位，然后向右平移5个单位，则坐标变为A (7，1)。

多边形内角和的公式

多边形内角和公式:N个多边形内角和等于(n-2) 180？(n≥3，n为正整数)，外角之和等于360？

平行线段的比例定理

(1)平行线分线段的比例定理:三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。

如图:A∨B∨C，直线l1和l2分别与直线A，B，C和点A，B，C和D，E，F相交。

有。

(2)推论:平行于三角形一边的直线切割另两边(或两边的延长线)，得到的对应线段成比例。如图:△ABC，其中DE∑BC，DE与AB和AC以及点D和E相交，则有:

直角三角形中的射影定理

直角三角形中的投影定理:如图:Rt△ABC，∠ ACB = 90o，d中的CD⊥AB

然后还有:(1)(2)(3)

圆的相关性质

(1)竖径定理:若一条直线具有以下五个性质中的任意两个:①过圆心；②竖弦；③平分和弦；(4)平分弦的下弧；⑤平分弦的最优弧，那么这条直线还有另外三个性质。注意:①和③满足时，弦不能是直径。

(2)两条平行弦所夹的弧相等。

(3)圆心角的度数等于它对着的弧的度数。

(4)弧对着的圆的角等于它对着的圆心的角的一半。

(5)圆的角度等于它所对的弧的角度的一半。

(6)同一圆弧或等圆弧的圆周角相等。

(7)在同一圆或同一圆内，等圆周角的圆弧相等。

(8)90?圆周角所对的弦是直径，而直径所对的圆周角是90度。直径是最长的弦。、

(9)圆内接四边形的对角互补。

三角形的内外心

(1)三角形的内切圆的中心叫做三角形的内部。三角形的内部是三个内角平分线的交点。

(2)三角形外接圆的中心称为三角形的外中心。三角形的外中心是三条边的垂直线的交点。

常见结论:①①Rt△ABC的三条边为:A、B、c(c为斜边)，则为其内切圆的半径；

②△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为R，则

弦切角定理及其推论

(1)弦角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角称为弦角。如图所示:∠PAC为弦切角。

(2)弦角定理:弦角的度数等于它所夹圆弧度数的一半。

若AC为⊙O的弦，PA为⊙O的切线，A为切点，则

推论:弦切角等于被夹圆弧的圆周角(函数证明角度相等)。

若AC为⊙O的弦，PA为⊙O的切线，A为切点，则

相交弦定理、割线定理和割线定理

(1)相交弦定理:圆内两条弦相交，两条直线的长度除以交点的乘积相等。

如图①所示，即:PA PB = PC PD。

(2)割线定理:从圆外的一点引出圆的两条割线，从该点到每条割线与圆的交点的两条线的长度的乘积相等。如图②所示，即:PA PB = PC PD。

(3)切线定理:圆的切线和割线是从圆外的一点画出的，切线长度是从这点到割线和圆的交点的两条线的长度比例中的中项。如图③所示，即:PC2 = PA PB。

① ② ③

面积公式

①S为正△ =×(边长)2。

②S平行四边形=底×高。

③S菱形=底×高=×(对角线积)，

④

⑤S圆= π R2。

⑥l周长= 2π r。

⑦弧长l =。

⑧

⑨S圆柱边=底周长×高度= =2πrh，

S总面积= S侧+S底= 2π RH+2π R2

⑩s锥边=×底周长×母线= π Rb，

S总面积= S边+S底= π Rb+π R2

第十四章图形相似性

考点1，比例线段(3分)

1和比例线段的相关概念

如果用相同的长度单位测量两条线段A和B，每条线段的长度为M和N，那么这两条线段的比值为，或者写成A: B = M: N。

在两条线段的比值A: B中，A称为比值的第一项，B称为比值的最后一项。

在四条线段中，如果其中两条的比值等于另外两条线段的比值，那么这四条线段称为比例线段。

若四个A、B、C、D满足或A: B = C: D，则A、B、C、D称为比例项，线段A、D称为比例外项，线段B、C称为比例内项，线段D称为A、B、C的第四比例项

如果有两条相同的线段作为比例中的项，即a: b = b: c，则线段b称为线段A和c的比例中位数。

2、比例的性质

(1)的基本属性

①a:b=c:爸爸=bc

②a:b=b:c

(2)比较性质(内部或外部交换条件比率)

(交换内容)

(交换外部项目)

(同时交换内部项目和外部项目)

(3)反比(前后交换条件的比值):

(4)综合性能:

(5)等距属性:

3、黄金分割

AB线分为AC、BC两条线(AC >；BC)，并设AC为AB与BC之比的均值，称为线段AB的黄金分割点，C点称为线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB。

考点2。平行线段的比例定理(3~5点)

三条平行线切两条直线，对应的线段成比例。

推论:

(1)平行于三角形一边的直线与另外两边(或两边的延长线)相交，得到的对应线段成比例。

逆定理:如果切割三角形的两条边(或两条边的延长线)得到的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三条边。

(2)平行于三角形一边并与其他两边相交的直线所截三角形的三条边与原三角形的三条边成正比。

考点三、相似三角形(3~8分)

1，相似三角形的概念

有相等的角和成比例的边的三角形叫做相似三角形。相似性用符号“∽”表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比率称为相似比(或相似系数)。

相似三角形的基本定理。

平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成一个类似于原三角形的三角形。

用数学语言表达如下:

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC

相似三角形的等价关系；

(1)自反性:对任意△ABC，有△ABC∽△ABC；

(2)对称性:如果△ABC∽△A'B'C '，△A'B'C'∽△ABC。

(3)传递性:如果△ABC∽△A'B'C '和△A'B'C '，△ ABC ∽△ A' b' c '。

3.三角形相似性的判断

判断(1)三角形相似性的方法

①定义方法:对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。

②平行法:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，形成的三角形与原三角形相似。

③判定定理1:如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两个角相等，两个三角形相似。

④判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似，可以简单描述为两条边按比例对应且夹角相等，这两个三角形相似。

⑤判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么两个三角形相似，可以简单描述为三条边成比例，两个三角形相似。

(2)直角三角形相似性的判断方法。

①以上判断方法均适用。

(2)定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边成正比，那么这两个直角三角形相似。

③垂直法:两个直角三角形除以斜边上的高度，与原三角形相似。

4.相似三角形的性质

(1)个相似三角形对应的角相等，对应的边成比例。

(2)相似三角形对应高度的比值、对应中线的比值和对应角平分线的比值都等于相似比。

(3)相似三角形周长之比等于相似比。

(4)相似三角形面积之比等于相似比的平方。

5.相似多边形

(1)如果两个边数相同的多边形对应的角相等，对应的边成比例，那么这两个多边形称为相似多边形。相似多边形对应边的比值称为相似比(或相似系数)。

(2)相似多边形的性质

①相似多边形对应的角相等，对应的边成比例。

②相似多边形的周长之比和对应对角线之比都等于相似比。

③相似多边形中对应的三角形相似，相似比等于相似多边形。

④相似多边形面积比等于相似比的平方。

6、喜欢图形

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的直线都经过同一点，那么这样的两个图形称为势图，这个点称为势心，此时的相似比称为势比。

性质:每组对应点与势心在同一直线上，它们到势心的距离之比等于势比。

从一个图形到它的势图形的变换叫做势变换。一个图形可以通过位势变换来放大或缩小。