敛散性真题

1.D 2。A 3。B 4。A 5。C 6。D

第二，填空

1.(x^2+y^2)/4-z^2/9=1

2.1/2

3.2

4.2

三、计算问题

1.一枝，|OA|=√10，|OB|=√10，|AB|=√2。

∴△OAB是以AB为底的等腰三角形，设AB上的高度为h

然后就是H 2+(√ 2/2) 2 = (√ 10) 2，解就是h=√(19/2)。

∴△OAB地区是s = 1/2 * ab * h = 1/2 *√2 * √( 19/2)= 1/2 *√19。

2.z=uv，u=x+y，v=x-y

dz/dx=v*du/dx+u*dv/dx=v+u=2x

dz/dy=v*du/dy+u*dv/dy=v-u=-2y

d^2z/dydx=d(dz/dy)/dx=0

四、计算问题

1.积分面积D: 0 ≤ X ≤ 1，0 ≤ Y ≤ 1-X。

∴∫∫xydxdy=∫<；0，1 & gt；xdx∫& lt；0，1-x & gt；ydy =∫& lt；0，1 & gt；x[& lt；0，1-x & gt；y^2/2]dx

= 1/2∫& lt；0，1 & gt；x*(1-x)^2dx=1/2∫<；0，1 & gt；(x-2x^2+x^3)dx

= 1/2 *[& lt；0，1 & gt；(x^2/2-2x^3/3+x^4/4)]

=1/2*(1/2-2/3+1/4)=1/2*1/12=1/24

2.当二元函数取得极值时，每个变量的偏导数都是0。

f(x,y)=e^y*(x^2+2x+y)，

f'x(x,y)=e^y*(2x+2)=0

f'y(x,y)=e^y*(x^2+2x+y)+e^y*1=e^y*(x^2+2x+y+1)=0

X=-1，y=0。

f(-1,0)=e^0*(1-2+0)=-1

函数的极值点为(-1，0)，极值为-1。

3.e^z-xyz=0 = & gt；e^z=xyz = & gt；z=ln(xyz)=lnu

dz=du/u=(yzdx+xzdy+xydz)/(xyz)

xy(z-1)dz=(yzdx+xzdy)

dz=(yzdx+xzdy)/[xy(z-1)]

4.设x=rcosθ，y=rsinθ，x 2+y 2 = r 2。

极坐标积分面积为:0≤r≤1，0≤θ≤π/4。

∫∫√(x^2+y^2)dxdy=∫∫r*rdrdθ=∫<；0，π/4 & gt；dθ∫& lt；0，1 & gt；r^2dr

=π/4 *[& lt；0，1 & gt；(r^3/3)]=π/4*1/3=π/12

5.设∑ (x+2) n/n = ∑ an * (x+2) n。

lim | an/a(n+1)| = lim |(n+1)/n | = 1(n-& gt；+∞)

∴级数的收敛半径为R=1。

当x=-1时，级数明显收敛。

当x=-3时，级数交错，此时收敛。

∴级数的收敛区间是[-3，-1]。

6.设∑(-1)(n-1)/√( 3n)=∑an。

lim | an/a(n+1)| = lim |(-1)*√[(n+1)/n]| = 1(n-& gt；+∞)

∴级数∴一收敛

∑|(-1)(n-1)/√( 3n)| =∑| an |

lim | | an |/| a(n+1)| | = lim |√[(n+1)/n]| = 1(n-& gt；+∞)

∴级数∑|an|也收敛。

级数∑an和∑|an|收敛，∴∑ an级数绝对收敛。