高考题的衍生题

这是清友给我的。它利用了两个优势。有些还是过去的，一个一个来，方便你看。我希望收养他们。谢谢你。

解析:(一)题目曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x+y=1，所以根据导数的几何意义和切点处的函数值，建立关于参数的方程，就可以得到两个参数的值；

(II)因为f(x)= x ^ n(1-x)，所以可以求出f′(x)=(n+1)x ^ n-1((n/n+1)-x)。

(三)结合(二)，需要证明f(x) < 1/ne。因为函数f(x)f(n/n+1)=(n/n+1)n(1-n)的最大值。

n n/(n+1)n+1 < 1/ne，我们可以根据E求这个不等式两边的对数，我们可以构造函数φ(t)=lnt-1+1/t，借助于函数的最大值。

解法:(I)因为f(1)=b，从x+y=1上的点(1，b)可以得到1+b=1，即b = 0。

f '(x)= anx n-1-a(n+1)x n，所以f' (1) =-a。

又因为切线x+y=1的斜率是-1，-a=-1，即a=1，所以a=1，B = 0。

(II)由(I)可知，若f(x)= x ^ n(1-x)，则f '(x)=(n+1)x ^ n-1((n/n+1)。

在(0，n/n+1)上，导数为正，所以函数f(x)是增函数；(n/n+1，+∞)处的导数为负，所以函数f(x)是减函数；

所以函数f(x)在(0，+∞)上的最大值为f(n/n+1)=(n/n+1)n(1-n/n+1)= n n/n。

(III)设φ(t)=lnt-1+1/t，则φ'(t)= 1/t-1/T2 =(t-1)/T2(。

在(0，1)上，φ′(t)小于0，所以φ(t)单调递减；在(1，+∞)，φ′(t)> 0，所以φ(t)单调增加；

所以φ(t)在(0，∞)处的最小值为φ(1)=0，

所以φ (t) > 0 (t > 1)

然后lnt > 1-1/t，(t > 1)，

设t=1+1/n，LN (1+1/n)> 1/n+1，即LN(1+1/n

所以(1+1/n) n+1 > e，即n/(n+1)n+1 < 1/ne。

根据(II)式，f(x)≤n n/(n+1)n+1 < 1/ne，

因此，证明的不等式是成立的。