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第一种:数列(等差数列和等比数列)
——北京市第十二中学特级教师刘
清华附中特级教师张筱膺。
数列是高中数学中的重要课题，也是数学竞赛中的常见问题。数列中最基本的是等差数列和等比数列。
所谓数列，就是按照一定顺序排列的一系列数字。如果级数{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用公式an=f(n)来表示，则这个公式称为这个级数的通项公式。
从函数的角度来看，序列可以看作是定义域为正整数集N*(或其有限集{1，2，...n})，数列的通项公式也是对应函数的解析式。
要理解数列竞争，首先要深刻理解和熟练掌握两个基本数列的定义和性质，掌握它们之间的(同构)关系。
一.等差数列
如果一个级数从第二项开始，每一项与其前一项之差等于同一个常数，这个级数称为等差数列，这个常数称为等差数列的容差，通常用字母d表示。
等差数列{an}的一般公式是:
an = a 1+(n-1)d(1)
前n个术语和公式是:
(2)
从公式(1)可以看出，an是n的线性函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)呈直线排列。从公式(2)可知，Sn是二次函数(d≠0)或线性函数(d =
在算术级数{an}中，算术平均值:
,
任何两个am和an之间的关系是:
an=am+(n-m)d
可以看作是等差数列的广义通项公式。
从等差数列的定义、通项公式、前n项公式，我们还可以推导出:
a 1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =…= AK+an-k+1，k∈{1，2，…，n}
如果m，N，p，q∈N*，m+n=p+q，则有。
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an，S2n+1 =(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或者等差数列，等等。
第二，几何级数
如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项之比等于同一个常数，这个数列叫做几何级数。这个常数叫做几何级数的公比，通常用字母q表示。
几何级数{an}的一般公式是:
an=a1 qn-1
前n个术语和公式是:
在几何级数中，等比项:
,
并且任意两项am和an之间的关系是an = am qn-m。
若等比数列的公比q满足0 < ∣ q < ∣ 1，则称此数列为无穷递归等比数列，其各种
项目总和(也称为所有项目的总和)的公式为:
从几何级数的定义、通项公式、前n项公式，我们可以推导出:
a 1 an = a2 an-1 = a3 an-2 =…= AK an-k+1，k∈{1，2，…，n}
如果m，N，p，q∈N*，则有:
ap aq=am an，
写出π n = a1 a2...安，然后就是
π2n-1=(an)2n-1，π2n+1 =(an+1)2n+1
另外，一个项都是正数的几何级数，取同一个底数，构成一个等差数列；另一方面，以任意一个正数c为基数，用一个等差数列的指数构造一个幂能，那么{能}就是等比数列。在这个意义上，我们说一个正项几何级数和算术级数是“同构”的。
重要的不仅是两个基本数列的定义、性质和公式；而且求和过程中蕴含的数学思想方法和数学智慧极其珍贵，比如“倒加法”(等差数列)、“错位减法”(等比数列)。
级数主要有两类问题，一是求级数的通项公式，二是求级数的前n项之和。
第三，例子
示例1。设ap，aq，am，an为几何级数{an}中的P，Q，M，N项。如果p+q=m+n，证明:apoaq=amoan。
证明:设几何级数{an}的第一项为a1，公比为Q，则
ap=a1 qp-1，aq=a1 qq-1，am=a1 qm-1，an=a1 qn-1
所以:
ap aq=a12qp+q-2，am an=a12 qm+n-2，
因此:AP AQ = am+an
注意:这个例子是几何级数的一个重要性质，在解题中经常用到。它表明几何级数中与两端等距的两项(前两项和后两项)的乘积等于前两项和后两项的乘积，即:
a1+k an-k=a1 an
对于等差数列来说也是如此:在等差数列{an}中，两项之和，比如两端的距离，等于前两项和后两项之和。即:
a1+k+an-k=a1+an
例2。在等差数列{an}中，A4+A6+A8+a 10+a 12 = 120，则2a9-a10=
a20 b . 22 c . 24 D28
解:a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8且已知或得到。
5a8=120，a8=24
以及2 a9-a 10 = 2(a 1+8d)-(a 1+9d)= a 1+7d = A8 = 24。
所以选c。
例3。已知等差数列{an}满足a 1+A2+A3+…+a 101 = 0，则有()。
a . a 1+a 101 > 0 b . a2+a 100 < 0 c . a3+a99 = 0d . a 51 = 51
【2000年北京春季高考理工类(13)题】
解:很明显，a 1+A2+A3+…+a 101。
所以a1+a101=0，所以A2+a 100 = A3+A99 = a 1+a 101 = 0，选c。
例4。设Sn为等差数列{an}的前n项，S9=18，An-4 = 30 (n > 9)，Sn=336，则n为()。
A.16 B.21 C.9 D8
解:由于S9=9×a5=18，a5=2，a5+an-4=a1+an=2+30=32，因此，n=21选择b。
例5。设等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1>0 > 0，Sn为其前N项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是()。(1995全国高中联赛第1号)
(A)s 10(B)s 11(C)s 20(D)s 21
解法:∫3 A8 = 5a 13
∴3(a1+7d)=5(a1+12d)
因此
使an≥0→n≤20；当n > 20时，An < 0。
∴S19=S20最大值，选择(c)
注意:二次函数也可以用来求最大值。
例6。设等差数列的第一项和容差为非负整数，项数不小于3，项数之和为972，则这样的数列* * *有()。
2 (B)3 (C)4 (D)5。
【1997全国高中数学联赛第三题】
解法:设等差数列的第一项为A，容差为D，则根据题意有()。
即[2a+(n-1)d]on=2×972 (*)
因为n是不小于3的自然数，97是素数，所以数n的值必须是2×972的除数(因子)，只能是97、2×97、972、2×972中的一个。
若d > 0，则d≥1由公式(*)可知为2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)，所以只能有n=97，公式(*)可改为:a+48d=97。
如果d=0，公式(*)就变成:an=972，那么(*)也有两组解。
所以有4个等差数列* * *为这个问题设定了条件，分别是:
49，50，51，…，145，(***97项)
1，3，5，…，193，(**97项)
97，97，97，…，97，(**97项)
1，1，1，…，1(***972=9409项)
所以选(c)
例7。将正奇数集合{1，3，5，...}按(2n-1)奇数第n组从小到大:
{1}, {3,5,7},{9,11,13,15,17},…
(第一组)(第二组)(第三组)
那么1991在群里。
【1991全国高中数学联赛第三题】
解法:根据题意，前n组有奇数。
1+3+5+…+(2n-1)=n2。
而1991=2×996-1，是第996个正奇数。
∵312=961<996<1024=322
∴1991应该属于31+1=32组。
所以填32
例8。一个正数，如果它的小数部分、整数部分和它本身都是几何级数，那么这个数就是。
【1989全国高中联赛第4题】
解法:设这个数为x，其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，已知为:x (x-[x] = [x] 2。
其中[x] > 0，0 < x-[x] < 1，则解为:
从0 < x-[x] < 1，
∴[x]=1，
因此，应该填写
例9。几何级数的第一项{an} a1=1536，以及公比。如果用πn来表示其前N项的乘积，那么最大的πn(n∈N*)就是()。
(A)π9(B)π11(C)π12(D)π13
【1996全国高中数学联赛试题】
解法:几何级数的通项公式{an}是前n项之和。
因为
所以π12最大。
选择(c)
示例10。设x≠y和两个数列X，a1，a2，a3，Y和b1，X，b2，b3，Y和b4是等差数列，则=。
【1988全国高中联赛试题】
解:根据题意，y-x = 4(a2-a 1)∴；
以及y-x = 3 (B3-B2) VII。
∴
示例11。设x，y，Z y，Z为实数，3x，4y，5z为等比数列和等差数列，则的值为。【1992全国高中数学联赛试题】
解:因为3x，4y，5z成几何级数，所以有。
3x 5z = (4y) 2，即16y2=15xz ①。
和∵成等差数列，于是就有了(2)。
将②代入①得到:
∵x≠0，y≠0，z≠0
∴64xz=15(x2+2xz+z2)
∴15(x2+z2)=34xz
∴
示例12。已知集合M={x，xy，lg(xy)}和N={0,∣x∣,y}
并且M=N，则的值等于。
解法:从M=N，我们知道M中的一个元素应该是0，让lg(xy)有意义地知道xy≠0，从而x≠0，y≠0，所以只有lg(xy)=0，xy=1，m = {x，1。若y=1，则x=1，m = n = {0，1，1}与集合中元素的各向异性相连，所以y≠1，从而∣x∣= 6539；。X=1 y=1(含)，x=-1 y=-1，M=N={0，1，-1}
此时此刻，
因此
注:X，x2，x3，…，X2001系列；和
在x=y=-1的条件下，都是周期为2的循环序列，S2n-1=-2，S2n=0，所以2001并不可怕。
示例13。已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)和a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式()。
∣ sn-n-6 ∣<最小整数n是()。
5 (B)6 (C)7 (D)8
解:【1994全国高中数学联赛试题】
从3an+1+an=4(n≥1)
3an+1-3=1-an
所以数列{an-1}是以8为第一项的几何级数，所以是公比。
当n=7时，满足要求，所以选择(c)。
【注意】:数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，而是由等差数列的两个对应项之和组成的数列:1，1，…，1和等比数列:具有相等的项，所以前n项和Sn可以转化为两个对应的已知数列之和。在这里，观察一般的术语结构和用法。
示例14。设数列{an}和Sn的前n项=2an-1(n=1，2，…)，数列{bn}满足b1 = 3，bk+1 = AK+bk (k
【1996全国高中数学联赛复试第一题】
解法:从Sn=2an-1，设n=1，得到s 1 = a 1 = 2a 1-1，∴a1=1 ①。
且Sn=2an-1 ②
sn-1 = 2an-1-1③
②-③:Sn-Sn-1 = 2an-2an-1。
∴an=2an-2an-1
因此
∴数列{an}是一个第一项为a1=1，公比为q=2的几何级数，所以an=2n-1 ④。
到⑤
∴把上面的公式加起来，你会得到
注:本题综合运用a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)，等比例数列求和公式，叠加方法，从基础知识出发解决较复杂的问题。选准突破口，找到回归之路，来源于对基础知识的深刻概念及其联系的把握。
示例15。N2正数被排列成N行N列。
a11，a12，a13，a14，…，a1n
a21，a22，a23，a24，…，a2n
a31，a32，a33，a34，…，a3n
a41，a42，a43，a44，…，a4n
an1，an2，an3，an4，…，ann .
其中每一行的数字是等差数列，每一列的数字是等比数列，所有的公比都相等。已知的
【1990全国高中数学联赛第一测试题4】
解法:设数列第一行的公差为D，纵行各数列公比为Q，则原N行N列表为:
因此，有:
② ÷ ③，代入①和②得到④。
因为所有的表都是正数，Q > 0，∴.因此，对于任意1≤k≤n，有
注S = a 11+A22+A33+…+ANN⑤
⑥
⑤-⑤:
也就是
点评:此题中的和，实际上是等差数列的an=n与等比数列对应项的乘积所形成的新数列的前n项之和。公式⑤两边乘以公比，再减去错项，就归结为几何级数的求法各。这种方法是求几何级数前n项之和的基本方法，在解决这类问题时很有用，应该掌握。教材P137复习参考题3 B组第6题题目为:Sum:S = 1+2x+3 x2+…+NXN-1；2003年北京高考理工类试题(16):已知数列{an}为等差数列，A1 = 2，A1+A2+A3 = 12，(一)求数列{an}的通式；(II)设bn = an xn (x ∈ r)，求数列{bn}的前n项及公式。都贯穿着“错题减法”方法的应用。
第二种:指数函数、对数函数——刘北师大十二中的指数函数、对数函数、指数函数、对数函数是高中代数中非常重要的内容。在高考和数学竞赛中发挥着重要作用。掌握指数对数的概念及其运算性质，掌握指数函数与对数函数的反函数的性质、图像及其关系，具有重要意义。一、指数概念和对数概念:指数的概念是由幂的概念引申而来的。将同一个因数乘以a...a (n) =an求幂，其中n为正整数。从初中开始，首先把n推广到所有整数；然后把幂和根统一起来，推广到有理指数；最后，指数的概念在实数范围内成立。欧拉指出:“对数源是指数的”。一般来说，如果a(a >；0，a≠1)其对B的幂等于N，即ab=N，则数B称为以A为底的N的对数，记为:logaN=b，其中A称为对数的底，N称为实数。Ab=N和b=logaN是一对等价的公式，其中A是给定的不等于1的正常数。当b对n给定时，是指数运算，当n对b给定时，是对数运算。指数运算和对数运算的倒数运算。二、指数运算和对数运算的性质1。指数运算主要有三个性质:ax ay = ax+y，(ax) y = axy，(ab) x = ax bx (a > 0，a≠1，b & gt0，b ≠ 1) 2。还有三个对数运算(性质):(1)loga(Mn)= logam+Logan(2)logam/n = logam-Logan(3)logam = nlogam(n ͧ.0，a≠1，M & gt0，N & gt0) 3.指数运算和对数运算的关系:x = alogaxMlogan = nlogam4。负数和零没有对数；1的对数为零，即log a1 = 0；= 0;底数的对数是1，即logaa = 1 5。对数基交换公式及其推论:基交换公式:logaN=logbN/logba推论1: logamnn = (n/m) Logan推论2: 3。指数函数和对数函数函数y = ax(a >；0，且a≠1)称为指数函数。它的基本情况是:(1)定义域全是实数(-∞，+∞) (2)值域是正实数(0，+∞)，所以函数没有最大值和最小值，只有一个下界，y >；0 (3)是一对一的映射，所以有反函数——对数函数。(4)单调性是:当a >时；在1增加功能；00时，a ≠ 1)，f (x+y) = f (x) f (y)，f (x-y) = f (x)/f (y)函数y = logax(a & gt；0，而a≠1)称为对数函数，它的基本情况是:(1)定义域是正实数(0，+∞) (2)值域是所有实数(-∞，+∞) (3)对应关系是一一映射，所以有反函数——指数函数。(4)单调性是:当a >时；1是递增函数，当00，a≠1)，f (x y) = f (x)+f (y)，f (x/y) = f (x)-f (y)，例如1。求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1008)需要找出f(x)的结构特征，找到规律。注意，1/1001+1001 = 2/1001+999/10065438+。以及f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a 1-x/(a 1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(。这启发我们把求和公式组合起来再加:原公式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/65438+]1001)+f(501(1)取a=4，这是1986年高中数学联赛的填空题:设f(x)=(4x/(4x+2))，那么公式F(1/101)+F(2/2)。(2)若上题选a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，求和公式可改为求F(1/n)+F(2/n)+F(3/n)+…+F((n-)这是2003年春季上海高考数学12题。例2.5log25等于:()(a)1/2(b)(1/5)10 log 25(c)10 log 45(d)10 log 52解:5log22。=(1/5)×10log25 ∴选择(b)描述:这里用的是对数恒等式:A Logan = n (a > 0，a ≠ 1，n > 0)这是京190。例3。计算解法1:首先用复合二次根化简的配点法对实数进行变形。解法二:利用算术根的基本性质对实数进行变换，说明乘法公式的恰当应用可以化繁为简。例4。试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+)。解决方法:对于两个正数的大小，商是比较1的常用方法，记为122003 = a > 0。然后就是((122002+1)/(122003+1))；(122003+1)/(12200)。((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12 a2+145 a+12)/(12a)=1，即logab=(1/logba)，所以lglog310和lglg3是一对对立面。设在部分，则g(x)是奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧妙地利用了奇函数的性质来解决问题，关键在于仔细观察函数的结构特征和对数的恒等式变形。
第三种:二次函数二次函数是最简单的非线性函数之一，它有着丰富的内涵。在中学数学教材中，对二次函数和二次方程、二次三项式和二次不等式及其基本性质有深入反复的讨论和练习。对现代数学，甚至是现代数学都有着深远的影响。多年来一直是高考的重点考试内容，以它为核心内容的重点试题也逐年变化。不仅如此，二次函数的内容也是全国和地方高中数学竞赛中非常重要的命题对象。因此，我们必须全面而熟练地掌握二次函数的基本性质。学习二次函数的关键是抓住顶点(-b/2a，(4ac-b2)/4a)，顶点的原点体现了配置法(y = ax2+bx+c = a(x+b/2a)2+(4ac-B2)/4a)；图像的平移归结为顶点的平移(y = ax2→y = a(x-h)2+k)；函数的对称性(对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R)，单调区间(-∞，-b/2a)，[-b/2a，+∞]，极值((44)一、河南教育出版社出版的《谈ax2+bx+c》一书中“四个二次型”概述(作者翟等，)，有如下“框图”:(一元)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) → a=0 →(一元)一次函数Y = bx+c(b≠0) ↑ ↑(一元)二次三项式AX2+BX+。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) → a=0 →一元线性方程BX+C = 0 (B ≠ 0) ↓↓一元二次不等式ax2+bx+C & gt；0或ax2+bx+c