初中工程问题公式
工作量=工作效率×时间。
在小学数学中，我们都把探索这三个量之间关系的应用题称为“工程问题”。
举个简单的例子。
一项工作，甲方10天可以完成，乙方15天可以完成，两个人合作完成需要多少天？
一个作业整体上看是1，那么工作量可以算作1。所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量。我们用的时间单位是“天”，1天是一个单位。
根据基本的数量关系，我们得到
所需时间=工作量/工作效率
=6(天)？
两个人合作需要六天。
这是工程中最基本的问题，本讲介绍的很多例子都是从这个问题发展而来的。
为了计算整数(尽可能)，像第三个例3和例8一样，把工作量分成更多的份额。还是那句话，10和15的最小公倍数是30。假设总工作量为30份。那么甲方每天完成3份，乙方每天完成2份。两个人合作要几天？
30(3+2)= 6(天)
算数字比较方便。
: 2.或者说“工作量是固定的，工作效率与时间成反比”。甲乙双方的工作效率比为15: 10 = 3: 2。当两者的工作效率比已知时，从比例的角度考虑问题，也
所需时间为
因此，在以下例题的描述中，我们并不完全采用通常教材中“整体设定工作量1”的做法，而是侧重于“整数”或“从比例的角度”，这样可能会使我们的解题思路更加灵活。
第一，两个人的问题
题目中提到的两个人也可以是两个组，两个队等等。
例1甲工作9天可以完成，乙工作6天可以完成。现在A先做了3天，B继续完成剩下的。B完成所有工作需要多少天？
回答:B需要4天完成所有工作。
方案二:9和6的最小公倍数是18。设总工作量为18。甲方每天完成2份，乙方每天完成3份。乙方完成剩余工作需要多少时间？
(18- 2 × 3)÷ 3= 4(天)。
解决方案3:A和B的工作效率之比为
6∶ 9= 2∶ 3.
a做了3天，相当于B做了2天，B完成剩下的工作需要6-2=4(天)。
例2一项工作，在甲乙双方的配合下，30天可以完成，6天后，甲方走了，乙方继续做了40天。如果这项工作由甲方或乙方单独完成，需要多少天？
解决方案:* * * *做了6天，
原来A做24天，B做24天。
现在，A做0天，B做40=(24+16)天。
这说明原来A用24天做的工作，16天就能被B替代，所以A的工作效率是高的。
如果B单独做，需要的时间是
如果A单独做，需要的时间是
回答:A一个人做需要75天，或者B一个人做需要50天。
例3一个项目可以由甲方单独完成63天，然后由乙方单独完成28天。如果甲乙双方合作，需要48天完成。现在甲方一个人做42天，然后乙方一个人做。乙方还需要做多少天？
解决方法:首先比较如下:
a为63天，B为28天；
a做48天，B做48天。
已知A需要少做63-48=15(天)，B需要多做48-28=20(天)，从而得出A的。
a一个人做了42天，63-42=21(天)不到63天，相当于B在做。
所以，B还是要做。
28+28= 56(天)。
A: B还需要做56天。
例4一个项目，A组单独完成10天，B组单独完成30天。现在两队合作，期间A队休息了2天，B队休息了8天(两队都没有休息一天)。从开始到结束花了多少天？
方案一:A队单独工作8天，B队单独工作2天，从而完成工作量。
剩下的工作量就是两个团队的合作了。需要多少天？
2+8+ 1= 11(天)。
回答:从开始到结束用了11天。
解决方案2:我们假设总工作量是30份。甲方每天完成3份，乙方每天完成1份。A队单干8天，B队单干2天后，两队需要配合。
(30-3×8-1×2)÷(3+1)= 1(天)。
方案三:A队做1天，相当于B队做3天。
A队单独做了8天后，还有(A队)10-8= 2(天)工作量，相当于B队2×3=6(天)，单独做了2天后，还有(B队)6-2=4(天)工作量。
4=3+1,
三天可以由A队1天完成，所以两队只需要合作1天。
例5一个项目由团队A单独用20天完成，团队B单独用30天完成。现在他们在一起工作，期间A队休息了3天，B队休息了几天。从开始到完成用了16天。B队休息了几天？
方案一:如果16天两队都不休息，怎么办？
因为两队在休息时间没有做的工作量是
B队在休息期间没有完成的工作量是
B队休息几天？
a:B队休息了五天半。
解决方案2:假设总工作量为60。甲方每天完成3份，乙方每天完成2份。
两队休息时没有做的工作量是
(3+2)×16- 60= 20(份)。
因此，B的休息日是
(20- 3 × 3)÷ 2= 5.5(天)。
方案三:A队做2天，相当于B队做3天。
A队休息3天，相当于b队休息4.5天.
如果A队16天不休息，A队就只有4天工作，相当于B队工作6天，B队的休息日是
16-6-4.5=5.5(天)。
例6有两个任务，A和B。张单独完成A任务需要65，438+00天，而张单独完成B任务需要65，438+05天。李完成工作A需要8天，李完成工作b需要20天，如果两个人可以在每项工作中合作，那么完成这两项工作需要多少天？
解:显然，李做A工作的工作效率高，张做B工作的工作效率也高。所以让李先做甲，张先做乙。
假设B的工作量为60份(15和20的最小公倍数)，张每天完成4份，李每天完成3份。
再过8天，李就可以完成作品a，此时张还有作品B的(60-4×8)份，需要张和李的配合。
(60-4×8)÷(4+3)=4(天)。
8+4=12(天)。
答:完成这两项任务至少需要12天。
一个项目，甲方单独做需要10天，乙方单独做需要15天。如果两个人合作，他们会的
完成项目需要八天，两个人合作的天数越少越好，那么两个人合作多少天呢？
解决方案:假设本项目工作量为30份，甲方每天完成3份，乙方每天完成2份。
两个人配合，* * *完成。
3× 0.8+2 × 0.9= 4.2(份)。
因为两个人合作的天数要尽量少，单干的应该是效率高的那一个。因为要在8天内完成，所以两个人合作的天数是
(30-3×8)÷(4.2-3)=5(天)。
显然最后变成了“鸡兔同笼”的问题。
例8甲、乙合作一项工作。由于他们的良好合作，甲方的工作效率比单独工作要高。
如果这项工作总是由一个人独自完成，需要几个小时？
解决方法:B单干6小时的工作量是多少？
b每小时的工作量是
两个人一起工作6小时，A完成的工作量是
A单独工作时每小时完成的工作量
A一个人做这项工作需要多长时间？
A:A一个人完成这项工作需要33个小时。
本节中的大多数示例都被视为“整数”。但是，“整数”并不能让所有工程问题的计算变得简单。例8就是这种情况。例8也可以是整数，当找到B时。
方便了一点，但是没多大好处。没有必要重新发明轮子。
第二，很多人的工程问题
当我们谈到很多人的时候，至少有三个人。当然，多人问题比两人问题复杂，但解决问题的基本思路还是差不多的。
例9一项工作甲、乙双方36天完成，乙、丙双方45天完成，甲、丙双方60天完成，甲方单独完成需要多少天？
解法:设此工作的工作量为1。
甲、乙、丙三方的合作每天都在完成。
减去乙方和丙方每天做的工作，甲方每天都会完成。
A:A一个人做需要90天。
例9也可以四舍五入，假设总工作量为180，甲、乙每天完成5份，乙、丙每天完成4份，甲、丙每天完成3份。请大家试一试，计算起来会不会更方便？
例10一项工作，A单独做需要12天，B单独做需要18天，C单独做需要24天。这项工作由A做了几天，然后由B做了三倍于A的天数，再由C做了两倍于B的天数，最后完成了这项工作。
解法:A做1天，B做3天，C做3×2=6(天)。
说明A做了2天，B做了2×3=6(天)，C做了2×6=12(天)，三个人一起做。
2+6+12=20(天)。
完成这项工作花了20天。
这个问题的整数会给计算带来方便。有一个很容易找到的最小公倍数12，18，24。72.可以假设总工作量为72。a每天完成6个，B完成4个，C完成3个。总工作量是* * *。
例11一个项目，甲、乙、丙三方合作需要13天。丙方请两天假，乙方就得多做四天，或者甲乙双方合作1天。这个项目由甲方单独完成需要多少天？
解决方法:丙方两天的工作相当于乙方四天的工作，丙方的工作效率是乙方的4÷2=2(倍)，甲乙合作1天，与乙方4天相同。也就是说，甲方工作1天，相当于乙方工作3天，甲方的工作效率是乙方的3倍.
他们* * *一起做13天的工作，这是甲方一个人做的，甲方需要。
A:A一个人做要26天。
实际上，当我们计算出甲、乙、丙三方的工作效率比为3∶2∶1时，我们知道甲方工作1天，相当于乙、丙三方合作1天，三个人合作需要13天，乙、丙双方完成的工作量可以折算成甲方65438天。
例12对于某项工作，A组三个人八天可以完成这项工作，B组四个人七天可以完成这项工作。A组两个人和B组七个人合作完成这项工作需要多长时间？
方案一:设该工作的工作量为1。
A组每个人每天都能完成。
B组每个人每天都能完成。
A组两个人，B组七个人，每天都能完成。
答:合作3天就能完成这个工作。
方案二:A组3个人8天可以完成，那么2个人12天可以完成；B组四个人七天就能完成，那么七个人四天就能完成。
现在，不管人数多少，问题变成了:
A组单独工作12天，B组单独工作4天。合作几天完成？
小学算术要充分利用给定数据的特殊性。方案2是灵活运用比例的典型例子。心算好的话，很快就能得到答案。
例13车间A做一批零件需要10天，但如果车间A和车间B一起做，只需要6天。车间B和车间C一起工作，需要8天完成。现在三个车间一起工作，发现车间A比车间b多做了2400个零件，车间C做了多少个零件？
方案一:设总工作量为1。
a每天比B完成的多。
所以这批零件的总数是
车间C生产的零件数量为
a:车间C生产了4200个零件。
解2:10和6的最小公倍数是30。我们假设制作零件的总工作量是30份。甲方一天完成3份，甲乙双方一起一天完成5份，导致乙方一天完成2份。
乙方和丙方将在8天内完成。乙方完成8×2=16(份)，丙方完成30-16=14(份)，你就知道了。
B和C的效率比为16∶14=8∶7。
已知的
甲乙双方的效率比为3∶2= 12∶8。
综合起来，甲、乙、丙三方的工作效率之比为
12∶8∶7.
当三个车间一起工作时，C生产的零件数量是
2400(12-8)×7 = 4200(件)。
例14 A需要10小时，B需要12小时，C需要15小时，在A、B仓库相同的情况下，A同时开始在A、B仓库搬运货物，C开始帮助A，中间再转而帮助B。最后，两个仓库中的货物同时移动。问c。
解决方法:我们假设一个仓库搬运货物的工作量是1。现在相当于三个人* * *完成工作量2，需要的时间是
答案:C帮A搬运3小时，B搬运5小时。
解决这个问题的关键是计算三个人同时搬运两个仓库的时间。当然这个问题的计算也可以四舍五入，假设搬运一个仓库的总工作量是60。甲每小时运6，乙每小时运5，丙每小时运4。
三个人* * *一起行动，需要
60 × 2÷ (6+ 5+ 4)= 8(小时)。
a需要C帮忙搬运。
(60- 6× 8)÷ 4= 3(小时)。
b需要C帮忙搬运。
(60- 5× 8)÷4= 5(小时)。
第三，水管问题
从数学的角度来看，水管问题和工程问题是一样的。水池注水或排水相当于一个工程，注水或排水就是工作量。单位时间内的注水量或排水量就是工作效率。至于注射和引流都有问题，工作量只增不减。所以解决水管问题的思路和解决工程问题的思路基本一致。
例15 A、B两个管道同时打开，9分钟即可注满水池。现在10分钟开第一管A，开第二管，3分钟灌满池。已知第一管道A每分钟比第二管道多注入0.6立方米的水。这个游泳池的容积是多少？
每分钟注水量为
b每分钟注水量为
所以池的体积是
答:水池的容积是27立方米。
16有一些水管，每分钟注水量相等。现在，
在预定的时间注满游泳池。如果一开始就打开10水管，也可以在预定时间注满水池，中间不需要额外增加水管。当初开了多少水管？
回答:开头开6个水管。
例17蓄水池有两个进水管A和C，两个排水管B和d，要灌满一池水，单独开A管需要3个小时，单独开C管需要5个小时。排干一池水，光是打开管道B就要2个小时。
依次开启1小时依次为，B，...水开始溢出游泳池需要多长时间？
否则在开钉管的过程中，池水会溢出。
(20小时)后，水池里有水了。
这个问题类似于广为流传的“青蛙爬井”:一只掉进枯井的青蛙要爬30英尺才能到达井口，而且它总是每小时爬3英尺，滑下2英尺。青蛙爬到井口需要几个小时？
看起来它每小时只爬3- 2= 1(英尺)，但27小时后，它爬了1小时，又爬了3英尺到达井口。
所以，答案是28小时，不是30小时。
例如:18一个蓄水池每分钟流入4立方米的水。如果打开五个水龙头，两个半小时水箱里的水就会被排空；如果打开8个水龙头，1.30小时，蓄水池里的水就会被清空。现在打开13水龙头。清空水需要多长时间？
解决方法:先算1个水龙头每分钟出水量。
2个半小时比1个半小时多60分钟，流入的水更多。
4 × 60= 240(立方米)。
时间以分钟计算，1水龙头每分钟的出水量为
240 ÷ (5× 150- 8 × 90)= 8 (m3)，
8水龙头1个半小时的放水量是
8 × 8 × 90,
其中，90分钟内的进水量为4 × 90，那么原池有8 × 8 × 90-4 × 90= 5400(立方米)的水。
打开13水龙头，每分钟可以放出8×13的水，除了每分钟流入4，其余的会放出原来的水，清空原来的5400，这是需要的。
5400 ÷(8 × 13- 4)=54(分钟)。
回答:打开13水龙头，清空泳池需要54分钟。
池子里有两部分水，原生水和新流入水，需要分别考虑。解决这个问题的关键是先找出池子里原来的水，这是题中隐含的。
例19在一个水池中，地下水从四面墙渗入池中，每小时渗入池中的水量是固定的。A管打开，8小时可排净池内水，C管打开，12小时可排净池内水。如果打开A管和B管，4个小时就可以把水放掉。排干游泳池里的水需要几个小时？
解:水池注满的水量为1。
试管a每小时排出一次。
试管a在4小时内排出。
因此，b、c双管齐下，每小时排量为
b、C双管齐下，将池水排满，所需时间为
a:B和C排干池子需要4小时48分钟。
这个题目也要分开考虑，原生水(满池)和渗透水。因为我们不知道具体的量，就像我们不知道工程问题中工作量的具体量一样，这里我们把两种水分别设为“1”，但要避免两者混淆。其实我们也可以把原水四舍五入，把8和12的最小公倍数设为24。
17世纪英国大科学家牛顿写过一本《万有算术》，他在书中提出了一个“牛吃草”的问题，这是一个有趣的算术问题。本质上类似于例18和例19。题目涉及三个量:原草，新长的草，牛吃的草。
有三个牧场，草长得一样密，长了一个。
草；21头牛在9周内吃掉了第二块牧场的草。18周第三牧场的草能吃几头牛？
解法:总吃草量=一头牛每周吃的草量×牛数×周数。根据这个计算公式，可以将一头牛一周吃的草量设定为草的计量单位。
原草+4周新草=12×4。
原草+9周新草=7×9。
可以断定，每周新长出的草是
(7×9-12×4)÷(9-4)=3.
所以原草是
7×9-3×9=36(或12×4-3×4)。
对于第三块草地，18周内原草和新草的生长总量为
这些草可以制造
90×7.2÷18=36(头)
牛吃18周。
答案:18周36头牛可以吃第三块牧场的草。
示例20的解决方案与示例19的解决方案略有不同。例20中专门找出“新长”，将“原长”和“新长”两个量放在一起计算。事实上，如果例19有另一个条件，比如“打开B管，10小时就可以注满池子。
“牛吃草”的问题可以以各种形式出现。限于篇幅，我们只多举一个例子。
例21艺术展9点开幕，但人们已经在排队入场了。自从第一批观众到达后，每分钟的参观人数都是一样的。如果开三个入口，9: 09没人排队，如果开五个入口，9: 05没人排队。第一批观众的到达时间是什么时候？
解决方案:让一个入口每分钟有1个单位的受众。
9: 00到9: 09入场的观众是3x9。
9:00-9:05入场是5x5。
因为观众是9-5=4(分钟)多，每分钟来的观众是
(3×9-5×5)÷(9-5)=0.5.
9点前的观众是
5×5-0.5×5=22.5.
这些观众开始需要。
22.5 0.5 = 45(分钟)。
答:第一批观众8: 00到，15。