初中奥林匹克数学:和、差、多知识点及例题分析
和差问题
说到“和而不同的问题”，小学高年级的人都会说:“我会！”和差问题的计算太简单了。是的，知道两个数的和与差，求两个数，有一个计算公式:
大数=(和+差)÷2
小数=(和差)÷2
会计算，还能灵活运用，把一些应用问题变成和差问题来计算。
我们先来看几个简单的例子。
例1，张明期末考试时，语文和数学平均分95，数学比语文多8分。张明这两门课的分数是多少？
解法:95乘以2是数学和语文的分数之和，我们知道数学和语文的分数之差是8。因此，
数学成绩=(95×2+8)÷2=99。
语文成绩=(95×2-8)÷2=91。
答案:张明数学99分，语文91分。
注:语文成绩也可以从95×2-99=91算出。
例2，有A，B，C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149。找出这三个数字。
解:从B+C=197和A+C=149，我们知道B和A的差是197-149，题目告诉我们B和A之和是252。因此，
b =(252+197-149)÷2 = 150
A=252-150=102，
C=149-102=47。
A:号码A、B、C分别是102、150、47。
注意:还有一个更简单的方法。
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C)。
上面的公式表明，三个数相加，再除以二，就是三个数之和。
a+B+C =(252+197+149)÷2 = 299。因此，
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102。
例3:筐A和筐B装有75公斤苹果，从筐A中取出5公斤苹果放入筐B，筐A中的苹果比筐B中的苹果多7公斤，筐A和筐B中分别有多少公斤？
解决方法:画一个简单的原理图，
可以看到篮子A里的苹果比篮子b里的多。
5+7+5=17(公斤)
所以A和B之和是75，差是17。
篮子里苹果的数量=(75+17)÷2=46 (kg)。
篮子B中苹果的数量=75-46=29(公斤)。
A:篮子A里有46公斤苹果，篮子b里有29公斤.
例4:张强用270元买了一件外套，一顶帽子，一双鞋。外套比鞋子贵140元，外套和鞋子比帽子贵210元。张强买这双鞋花了多少钱？
解决方法:让我们把外套和鞋子看成一件事。外套和帽子的价格之和是270元，差额是265，438+00元。
外套和鞋子价格之和=(270+210)÷2=240(元)。
外套价格和鞋子价格的差额是140，所以
鞋子价格=(240-140)÷2=50(人民币)。
回答:买这双鞋，50元。
再举三个比较复杂的例子。如果你能像下面的解法一样计算，你就可以说你已经能灵活运用和差问题的解法了。
例5:李大爷下午3点要上班。他估计差不多该上班了。他去屋里看钟，钟早停了12: 08+00。他匆忙离开家，看了看工厂的钟。上班前还是10分钟。晚上是165438+。
解决方法:到了工厂看到时钟是2: 50，离开家的时候是12: 00，相差2小时40分，是停钟时间和走在路上的时间造成的。
时钟停止的时间+花在路上的时间=160(分钟)。
晚上下班，厂里的钟是11点，回到家是9点，相差2个小时。这是因为时钟停止的时间有一部分被花在回家路上的时间抵消了。
因此
时钟停止的时间-花在路上的时间=120(分钟)。
现在问题已经转化为标准的和差问题。
时钟停止时间=(160+120)÷2 = 140(分钟)。
花在路上的时间=160-140=20(分钟)。
李叔叔的钟停了2小时20分钟。
还有一个方案可以快速计算出李大爷在路上花的时间:
根据李大爷家的时钟，他12出门，晚上9点到家，在外面***了8小时50分钟，其中上班8小时，等下班10分钟，剩下的时间就是他来回上班的时间，所以，
上班路上花的时间=(8小时50分钟-8小时-10分钟)÷2=20分钟。
时钟停止时间=2小时40分钟-20分钟
=2小时20分钟。
例6:小明用21.4元买了两种贺卡，一种是A卡1.5元，一种是B卡0.7元，钱刚好用完。但业务员把A的张数算成B的张数，B的张数算成A的张数，要求小明退回3.2元。
解决方法:A卡和B卡的差价是1.5-0.7=0.8(元)，业务员误退给小明3.2元，明知小明买的A卡比B卡多3.2÷0.8=4(张).
现在有了两种卡的区别。只要找到两种卡的和，问题就解决了。怎么找？请注意
1.5×A中的卡数+0.7×B中的卡数=21.4。
1.5× B卡号+0.7× A卡号=21.4-3.2。
从上面两个公式可以看出，两个卡号之和为
[21.4+(21.4-3.2)]⊙(1.5+0.7)= 18(张)。
因此，卡片的数量是
(18+4)÷2=11(张)。
b卡数量为18-11=7(卡)。
答:小明买了11张A卡，7张B卡。
注意:这个问题也可以用鸡兔同笼的方法来做。请看下一讲。
例7:有两个大小相同的矩形，组合成两种大矩形，如右图。大长方形(a)的周长是240厘米，大长方形(b)的周长是258厘米。原来长方形的长和宽是多少厘米？
解:大矩形(A)的周长就是原来的矩形。
长×2+宽× 4。
大矩形(B)的周长就是原来的矩形。
长×4+宽× 2。
所以240+258就是原来的矩形。
长× 6+宽×6。
原始矩形的长和宽之和为
(240+258)÷6=83(厘米)。
原始矩形的长度和宽度之差为
(258-240)÷2=9(厘米)。
因此，原始矩形的长和宽是
长度:(83+9)÷2=46(厘米)。
宽度:(83-9)÷2=37(厘米)。
答:原长方形长46厘米，宽37厘米。
多重问题
当两个数的和或差已知，且两个数的倍数关系已知时，这两个数可以立即求解。小学算术中常见的“年龄问题”就是这类问题的典型。我们先来看几个基本的例子。
例1，有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个。那么从第一堆取多少棋子到第二堆可以使第二堆的棋子数是第一堆的三倍。
解:两堆棋子有87+69=156个棋子。
为了使第二堆的棋子数是第一堆的三倍，需要将156个棋子分成1+3=4个(棋子)，即每个棋子都有棋子。
156(1+3)= 39(个)。
第一堆要留三十九块，剩下的拿到第二堆。所以从第一堆到第二堆的棋子数是
87-39=48(件)。
回答:第一堆到第二堆你要拿48块。
例2:有两个书架，有173本书。从一楼拿走38本书后，二楼还有6本，是一楼的两倍。二楼有多少本书？
解决方案:我们绘制以下示意图:
我们把一楼剩下的书(拿走38本后)算作1本“册”，那么二楼的书就是2本，多了6本。然后去掉这6本书，也就是，
173-38-6=129(本)
正好三份，每份都是
129÷3=43(本)。
所以，二楼的书都是* * *
43×2+6=92(本)。
a:书架二层有92本书。
注:我们先设置“1份”，这样计算就有了一个非常方便的计算单位。这是解决应用问题的常用方法，尤其是针对多个问题。示意图上显示份数就更明显了。
例3:某小学有975名学生。该校男生人数比六年级少4倍，23人，该校女生人数是六年级的3倍多，11人。学校里有多少男孩和女孩？
解法:设六年级学生数为“1”。
有4 -23个男生。
女生人数是3 +11。
全校7个学生——(23-11)。
每份是(975+12)÷7 = 141(人)。
男生人数= 141×4-23 = 541(人)。
女生人数=975-541=434(人)。
答:男生541，女生434。
例2和例3是同一类型的问题，但略有不同。请考虑一下。“区别”在哪里？
70双皮鞋。这个时候皮鞋的数量刚好是旅游鞋的两倍。有多少双鞋？
解:为了方便计算，原来的球鞋算4份，卖了1份，还剩3份。那么原来的皮鞋加70双后就是3×2=6(份)。400+70将是3+1+6=10(份)。每个副本都是
(400+70)÷10=47 (double)。
原球鞋47×4=188(双)。
原单皮鞋47×6-70=212(双)。
答:旅游鞋188双，皮鞋212双。
设置整数份数，使计算简单方便。小学算术，小数和分数要尽量四舍五入，让思考和计算更简单。所以“尽量四舍五入”会贯穿后面的章节。
下面的例子将是这一节的主要内容——年龄问题。
年龄问题是小学算术中的常见问题，这类问题往往有一个“倍数”的条件。解决年龄问题的关键点是两个人的年龄差始终保持不变。
例4:父亲50岁，女儿14岁。多少年前，我父亲的年龄是我女儿的五倍？
解决方法:父女相差36岁，不变。几年前差36岁。当父亲的年龄正好是女儿的5倍时，父亲仍然比女儿大36岁。这个36岁是女儿的(5-1)倍。
36÷(5-1)=9.
当时女儿9岁，14-9=5，也就是五年前。
五年前，我父亲的年龄是我女儿的五倍。
例5:有两个池子，一个大池子，一个小池子。大池子里有300立方米的水，小池子里有70立方米。现在两个池子注入等量的水后，大池子的水是小池子的3倍。问每个水池注入多少立方米的水。
解决方法:绘制以下示意图:
我们统计注入小水池的水量为1，注入大水池的水量为3。从图中可以看出，由于注入两个水池的水量相等，所以大水池(300-70)的水量为2。
所以每一份都是
(300-70)÷2=115(立方米)。
注入的水量为
115-70=45(立方米)？
答:每个水池要装满45立方米的水。
例5和年龄问题一模一样。“注水”相当于年龄问题中的“若干年后”。
例6:兄弟俩的年龄加起来今年55。有一年，我弟的年龄和我弟今年一样。当时我哥的年龄刚好是我哥的两倍。我弟弟今年多大了？
解:当哥哥的年龄正好是弟弟的两倍时，我们假设弟弟的年龄是1，哥哥的年龄是2，那么哥哥和弟弟的年龄差就是1。他们之间的年龄差不会变，今年他们的年龄差还是1。
题目还告诉我们，我弟当时的年龄和我弟今年的年龄一样，所以我弟今年的年龄也是2份，我弟今年的年龄应该是2+1=3(份)。
今年，两兄弟的年龄之和是
3+2=5(份)
每份55÷5=11(岁)。
我哥今年的年龄是11×3=33(岁)。
答:我弟弟33岁。
作为本节的最后一个例子，我们将稍微改变一下年龄问题。
例7:父亲38岁，母亲36岁，儿子11岁。
多少年后，父母的年龄总和是儿子的4倍？
解:现在父母年龄之和是
38+36=74.
现在儿子年龄的4倍是11×4=44。不同的是。
74-44=30.
从四次考虑，每年的增长将是1×4=4，而父母年龄之和将是1+1=2。
为了赶上30的差距，有必要
30÷(4-2)=15(年)？
答:15后，父母年龄之和是儿子的4倍。
请用例6的解题思路解决练习2的问题7。也许你完全可以掌握这种解题技巧。
请读者思考一下。例7中的解决方案与例5中的不同吗？他们有什么特点？
我们也可以用案例15的解法来解案例12。具体方法如下:
(14×5-50)÷(5-1)=5(年)。
但是需要注意的是，14×5大于50，所以是五年前的。
过剩和不足的问题
《九章算术》是中国古代最丰富多彩的书。在它的第七章中，讨论了一种剩余和不足，其中第一种，用现代语言描述，是下面的例子。
例1，一些人一起买一些东西，每个人出8元，这样会多出3元；大家都出7块钱，就少了4块钱。那么有多少人呢？价格是多少？
解决方法:“多3元”和“少4元”是有区别的
3+4=7(元)。
每个人多需要8-7=1(元)。
所以我们知道* * *有7÷1=7(人)，价格是
8×7-3=53(元)。
回答:* * * *七个人一起买的，价格53元。
上面的3+4可以说是两个总和的差，而8-7是每个副本的差。计算公式为
总差异÷每份差异=份数。
这类问题的内容有很多变化，形成一类问题，我们一般称之为“过剩短缺”。请看更多的例子。
例2:给孩子一袋糖，每人给10片，正好结束。如果每个人都拿到16片，三个孩子一颗糖都拿不到。这个包里有多少药片？
方案一:本来可以给三个孩子每人10片，有的* * *有10×3=30(片)。如果给其他孩子服用，每个孩子可以增加16-10=6(片)，所以其他孩子有。
10×3÷(16-10)= 5(人)。
加上这三个孩子，* * *有孩子5+3=8(人)。这袋糖果已经。
10×(5+3)=80(粒)。
方案二:如果再加16×3颗糖，大家都可以加(1-10)，这样* * *就有孩子了。
16×3÷(16-10)= 8(人)？
这个包里有80颗糖果。
这个包里有80颗糖果。
这里16×3是总差，(16-10)是每份的差，8是份数。
例3，一个班的学生去划船。他们计算出，如果增加一艘船，每艘船只能容纳六个人。如果减少一艘船，每艘船只能坐9个人。这个班有多少学生？
解决方法:如果每条船坐六个人，就要再加一条船，也就是现在有六个人没船坐了；如果每条船坐九个人，可以减少一条船，也就是多坐九个人的船。可乘船人数之差为6+9=15(人)。
这是由于每条船多了(9-6)个人，所以* * *有一条船。
(6+9)÷(9-6)=5(篇)？
这个班有6×5+6=36名学生。
这个班有36名学生。
例4:小明从家里去上学。如果他每分钟走80米，他可以在上课前6分钟到达学校。如果他每分钟走50米，他将迟到三分钟。小明的家离学校有多远？
方案一:以从家到班的时间为基准，将两种不同速度行驶的距离与从家到学校的距离进行对比:如果每分钟走80米，可以多走80×6米；每分钟走50米，就会少走50×3(米)。请参见下面的示意图:
因此，我们可以发现小明从家到教室的时间是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分钟)。
从家到学校的距离是
800×(21-6)=1200 (m)？
或者50×(21+3)=1200 (m)。
小明家到学校的距离是1200米。
方案二:以每分钟80米步行回家到学校所需的时间作为思考的起点。
以每分钟50米的速度，需要多使用6+3=9(分钟)。这9分钟走的50×9(米)正好弥补了前面走的少。因此，每分钟80米所需的时间为
50×(6+3)÷(80-50)=15(分钟)？
再看两个比较复杂的例子。
例5:有的橘子分给几个人，每个人五个橘子，多了10。如果人数增加三倍，仍然少了五个人，那么每个人仍然少了八个橘子。有多少橘子？
解决方法:让人觉得难的是条件“三倍于五人”。我们必须首先改变这种状况。
假设有10个橘子，10 = 2×5，可以多5个人。暂且抛开“五少”这个条件，我们只考虑三倍的人数，相当于按照原来的人数给每人2×3=6(一)。
每人给五个，给六个，总数不一样。
10+10+8=28(件)。
所以原来的人数是28÷(6-5)=28(人)。
橘子总数为5×28+10=150。
答:有150个橘子。
例6，有一些苹果和梨。如果按照每1个苹果堆2个梨的话，分梨的时候还剩下5个苹果。如果按照每3个苹果5个梨来堆，苹果分完还剩下5个梨。有多少苹果和梨？
方案一:我们假设多了10个梨，加上剩下的5个苹果，都按照前面的“1个苹果，2个梨”来分。根据后来的“3个苹果5个梨”，苹果的总数可以被3整除。所以前者可以分成一大堆，每3堆可以组合。
每堆有三个苹果，但是有1个梨(6-5=1)。梨的总数不一样。
想象一下，加上10+剩余5 =15。
(10+5)÷(6-5)=15.
已知有15堆，苹果总数为
15×3=45(个)。
梨的总数为(45-5)×2=80。
有45个苹果和80个梨。
解决方案二:用图解法。
前者分为堆，用1表示两个梨，五个苹果。
后一种堆码，只要加上三个苹果，就可以和剩下的五个梨形成一堆。梨算五个，苹果正好三个。
对比上下图可以看出，5+3=8(一)就是下图中的“半份”，即1就是16。梨是5，* *有16×5=80(一)。苹果有16。