变体的概念和示例
二，变式教学的意义
1.它是掌握概念的有效途径，是理解和掌握定理和公式的重要途径。通过变体，抽象的概念和原理可以变得更加生动具体，概念和原理的内涵可以从各个侧面展示出来；另一方面，也可以从特殊到一般，得出一般结论，这样就可以把具体的、特殊的内容上升到一般，对它的理解也更深刻。
2.数学变式教学可以培养学生的思维品质。通过各种变体，揭示概念原理的本质，把握其本质，从而培养其思维的深刻性；通过各种变体，展示概念原理形式灵活多变的特点，进行多方位多角度的探索，提高数学适应性，培养思维的灵活性和创新性；利用变式构造反例，可以揭示问题的本质，培养批判性思维。
3.变式教学可以培养学生的能力。利用各种图形变体，在比较、辨别、联想中培养学生的空间想象力；通过变式，可以克服静态、孤立、片面地看待问题的习惯，消除定势思维的影响，促使学生多角度、全方位地思考问题，从而培养学生的辩证思维能力。
4.变式教学能激发学生的积极性和创新性。变式有助于启发学生分析已知和未知的数学问题及其相互关系，使他们积极联想与之相关的新旧知识，探索解决问题的方法。也鼓励学生不要满足于解决一个问题，而是一类问题；同时不满足于一题一解，而是以一题多解，一题巧解，多解来诱发其创造性。通过问题的变式，不仅可以有效地训练学生的基础知识和技能，还可以调动学生积极参与教学活动，减轻他们的负担，有利于学生创新能力的培养。
第三，变式与数学概念的学习
1.通过直观或具体的变体引入概念
抽象是数学概念的一个基本特征，但很多数学概念直接来源于具体的感性经验。因此，将概念引入教学的关键是建立感性经验与抽象概念之间的联系。在平时的教学实践中，笔者发现影响学生掌握几何概念的因素主要有三个:学生所拥有的图形经验、概念的描述以及所依据的图形变体。以两条异面直线的概念教学为例。
非平面直线概念的教学主要有两个难点:
一是概念的定义(内涵)抽象，学生难以理解；
第二，不同平面内的线条属于立体图形，用平面直视来表达必然会造成视觉失真，也会给概念对象(外延)的识别带来困难。
针对这两个难点，我们的老师通常会不自觉地使用以下两种变式:一是通过课堂上的课桌、笔、书等直观材料建立感性认识，让学生理解概念的具体含义。
然后，图形变体作为直观材料与抽象概念之间的过渡，从直观材料中抽象出来，使学生原有的感性经验从具体直观上升到图形层面，进而把握概念图形的基本特征，准确把握概念的外延空间。
2.通过非标准变体突出概念的本质属性。
学生认知的肤浅，往往表现为从问题的次要的、表面的形式去观察比较，而对问题的主要的、本质的东西视而不见。
标准变式虽然有助于学生准确把握概念，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延。解决这一问题的方法之一是充分利用非标准变体，先显示标准套路，再显示非标准变体，即先揭示概念的内涵，再揭示概念的外延。
笔者在教学中探索出的一条有效途径，就是把概念的外延作为一个变体空间，把它所包含的对象作为变体，通过对不同变体的相同属性进行归类，来突出概念的本质属性。
3.通过非概念变体定义概念的外延
概念的内涵和外延是对立统一的，内涵明确，外延清晰。概念的教学不仅要注重内涵，还要让学生对概念中包含的对立集合有一个明确的边界。
要理清概念的外延，就要划清概念与其相近概念的界限。这里一个有效的方法就是使用“非概念变体”，比如平面几何中的非概念图形。通过非概念图形与概念图形的比较，可以非常直观地理解概念的本质属性。
4.通过辨析变式，进一步加深对概念的理解。概念形成后，不要急于应用概念解决问题，而要多角度、多方向、多层次设计变式题，对一个问题给出一个对错答案或多个答案，启发学生明辨是非，说出依据，帮助学生透过现象看本质。
通常一些数学概念由于内容或形式的相似而容易混淆，让学生学会客观评价事物，培养批判性思维。比如，引导学生探索长方体体积的计算方法。首先安排长方体体积与矩形面积的类比，启发学生猜测长方体体积可能与长、宽、高有关。
然后改变一个长方体的长宽高，比较体积变化，让学生认识到“长宽相同时，体积越大”、“长宽相同时，体积越宽”、“长宽相同时，体积越大”。长方体的体积和它的长宽高有什么关系？然后安排操作活动，引导学生用小正方体摆放四个不同的长方体，并记下长宽高的相关数据。通过对这些数据的观察和分析，找到了长方体体积与长、宽、高的关系，逐步总结出长方体体积的计算方法。