21年——线性代数真题

4 0 0

0 3 -1

0 -1 3

| a-λe | =(4-λ)[(3-λ)^2-1)=(2-λ)(4-λ)^2.

所以a的特征值是2，4，4。

(A-2E)X=0的基本系是a1 = (0，1，1) t

(A-4E)X=0的基本解系是A2 = (1，0) t，A3 = (0，1，-1) t(正交)。

单元化:

b1=(1/√2)(0,1,1)^t

b2=(1,0,0)^T

b3=(1/√2)(0,1,-1)^t

设P=(b1，b2，b3)=。

0 1 1/√2

1/√2 0 1/√2

1/√2 0 -1/√2

那么X=PY是正交变换，f = 2y 1 ^ 2+4 y2 ^ 2+4 y3 ^ 2。