2009年大学数学建模试题C题答案。

1.考虑最简单的圆轨道和一般的椭圆轨道。

假设卫星测控站分布在与卫星轨道平行的地球表面，卫星轨道为圆形。利用几何关系给出了全覆盖所需的TT&C站数量与卫星高度之间的关系。诸如

卫星高度100 200 300 343 400 500

观测站数量为24 16 12 12 11 10。

当卫星轨道为椭圆形，且卫星轨道的一个焦点在地球中心时，利用几何关系给出各监测站的覆盖范围。然后用数值方法对测控站进行优化，给出了一些具体的结果(数量和位置)。比如下面的监测站数量。

近地点200 200 200 300 400 400

远地点300 400 347 400 500 600

观测站数量为14 13 14 12 10 10。

2.太空轨道

在地球自转的影响下，卫星下行的轨迹是地球表面的一些曲线，因此很难计算测控站的数量。一个粗略的估计方法是设置许多监测站，使它们能够覆盖卫星飞过的所有空域。计算这个球面覆盖赤道的立体角，然后去掉一个观测站可以覆盖的立体角，得到至少覆盖这个区域所需的观测站(给出所需站数与高度和夹角的关系模型)。举一两个例子。比如神舟七号的轨道平面与地球赤道平面的夹角为42.2度，距离地面343公里。覆盖这一地区至少需要55个观测站。考虑到圆内接正六边形的面积仅为圆面积的0.827，至少需要67个观测站。

3.实际情况

(1)收集卫星或航天器的发射或运行数据:轨道倾角、高度等。

(2)收集卫星发射和运行过程中观测站的数据:数量、位置等。

希望有好的团队能给出卫星的轨道，卫星运行过程中卫星下行的轨迹方程，各站的测控范围，卫星或航天器运行到某一圈时能测控的范围，最好能给出最长的观测时间。

注:此处给出的数据仅供参考。比如2中的55或67个站，就是在一些简化假设下，对神七飞行轨道给出的下限。不同卫星或航天器的飞行参数是不同的，学生还要建立模型，估算不同假设下需要的站数。建议根据学生的具体情况来判断和复习，学生的回答不一定要和这些参考数据完全一致。