初中数学竞赛期末试题
1.选择题(***5个小题，每个小题6分，满分30分。以下每道小题用英文码给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。请将正确结论的代码放在问题后的括号内。不填、填多或填错，得零分)
1.如果4x-3y-6z = 0，x+2y-7z = 0 (XYZ ≠ 0)，的值等于()。
(A) (B) (C) (D)
2.在本端口邮寄普通信件，每封质量不超过20g时邮费为0.80元，超过20g不超过40g时为1.60元，以此类推。每增加20g，邮费0.80元(信件质量在100g以内)。如果寄的一封信质量是72.5g，邮费要付()。
(一)2.4元(二)2.8元(三)3元(四)3.2元。
3.如下图所示≈A+≈b+≈C+≈D+≈E+≈F+≈G =()
360 (B) 450 (C) 540 (D) 720
4.四条线段的长度分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们组成两个直角三角形，AB和CD为其中两条线段(如上图)，那么x的可接受值个数为()。
2 (B)3 (C)4 (D) 6。
5.某校初三两个毕业班的学生和老师***100人在台阶上给毕业照拍照留念。拍摄者要排列成前多后少的梯形队列(排数≥3)，每排人数必须是连续的自然数，使后排每个人都能站在前排两人的空隙中。那么，符合上述要求的排列方案是()。
(A)1种(B)2种(C)4种(D) 0种。
二、填空(***5小题，每小题6分，满分30分)
6.那就知道了。
7.如果实数x，y，z满足，，那么xyz的值为。
8.观察下图:
① ② ③ ④
根据图①、②、③中的规律，图④中三角形的个数为。
9.如图，可知电线杆AB直立在地上，其影子正好发光。
在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD为45？，∠A=60？,
CD=4m，BC= m，则电线杆AB的长度为_ _ _ _ _ _ m .
10.已知二次函数(其中A为正整数)的像经过A点(-1，4)和B点(2，1)并与X轴有两个不同的交点，所以b+c的最大值为。
三、答题(***4题，每小题15分，满分60分)
11.如图，已知AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，OC平行于弦AD，过d点，在e点做DE⊥AB，连接AC，与DE在p点相交，EP和PD相等吗？证明你的结论。
解决方案:
12.有人租车从A城到B城，沿途可能经过的城市以及在两个城市间经过所需的时间(单位:小时)如图。如果汽车平均速度为80 km/h，汽车每1 km的平均成本为1.2元。试着指出这个人从A城到B城的最短路线(必须有一个推理过程)
解决方案:
13B..如图所示，在△ABC中，∠ ACB = 90。
(1)当D点在斜边AB内时，证明:。
(2)当D点与A点重合时，第(1)项中的方程是否存在？请说明原因。
(3)当D点在BA的延长线上时，第(1)项中的方程是否存在？请说明原因。
14B..已知实数A，B，C满足:a+b+c=2，abc=4。
(1)求A、B、C中最大的最小值；
(2)求最小值。
注意:13B和14B是比下面的13A和14A更容易的题。13B和14B以及之前的12题组成试卷。接下来的两页是13A和14A。
13A..如图，直径⊙O的长度是关于x的二次方程的最大整数根(k为整数)。P是⊙ o外的一点，且⊙O的切线PA和割线PBC通过P点，其中A是切点，B点和C点是直线PBC和⊙O的交点
解决方案:
14A..圆周上有一些数字。如果有A、B、C、D四个数依次相连，不等式>；0，那么b和c的位置就可以互换了，这叫一个运算。
(1)如果圆周上依次有数字1、2、3、4、5、6，问:圆周上依次相连的四个数字A、B、C、D，经过有限次运算后，是否都能≤0？请说明原因。
(2)如果圆周上有2003个正整数1，2，…，2003按顺时针方向由小到大，请问:圆周上依次相连的A，B，C，D四个数经过有限次运算后是否都≤0？请说明原因。
解决方案:(1)
(2)
2003年，“真的吗？“新力杯”全国初中数学竞赛参考答案及评分标准
一、选择题(每小题6分，满分30分)
1.D
代入溶液就可以得到。
2.D
因为20× 3
3.C
如图所示，∠ B+∠ BMN+∠ E+∠ G = 360，∠ FNM+∠ F+∠ A+∠ C = 360，
而∠ BMN+∠ FNM = ∠ D+180，所以
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540。
4.D
显然AB是四条线段中最长的，所以AB=9或AB = X .
(1)如果AB=9，当CD=x，，；
当CD=5，，；
当CD=1，…
(2)若AB=x，当CD=9，…，时；
当CD=5，，；
当CD=1，…
因此，x值的个数是6。
5.B
设最后一排有k个人，* *有n排，那么从后往前每排人数是k，k+1，k+2，…，k+(n-1)，从题意可知。
因为k和n是正整数且n≥3，n
6.。
= .
7.1.
因为，
因此，获得了解决方案。
因此，。
所以。
8.161.
根据图中①、②、③定律可知，图④中三角形的个数为
1+4+3×4++ = 1+4+12+36+108 = 161(个)。
9.。
如图，将AD的地平面延伸到e，穿过d使DF⊥CE到f .
因为∠ DCF = 45，∠ A = 60，CD=4m，
所以CF=DF= m，ef = df tan 60 = (m)。
因为，所以(m)。
10.-4.
因为二次函数的像经过A点(-1，4)和B点(21)，所以是
解决
因为二次函数图像与X轴有两个不同的交点，
也就是说，因为a是正整数，
So ≥2。又因为b+c =-3a+2 ≤-4，且当a=2，B =-3，C =-1时，题意满足，所以b+c的最大值为-4。
三、答题(***4题，每小题15分，满分60分)
11.如图，已知AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，OC平行于弦AD，过d点，在e点做DE⊥AB，连接AC，与DE在p点相交，EP和PD相等吗？证明你的结论。
解法:DP=PE。证据如下:
因为AB是直径⊙O，BC是切线，
所以AB⊥BC.
从Rt△AEP∽Rt△ABC，得到①...(6分)
AD‖OC，so ∠DAE=∠COB，so Rt△AED∽Rt△OBC。
所以②...(12分)
ED=2EP由①和②得出。
所以DP = PE...(15分)
12.有人租了一辆车从城市A到城市B，沿途可能经过的城市，以及
两个城市间通行所需时间(单位:小时)如图所示。如果汽车正在行驶，
汽车平均速度80 km/h，汽车平均费用1 km。
对于1.2元。试着指出这个人从A城到B城的最短路线(必须有推理)
程)，并找出最低成本为多少元？
解决方案:从城市A到城市B的路线分为以下两类:
(1)从A城出发到B城，经过O城，因为从A城到O城，
城市所需时间最短26小时，城市从O到b所需时间最短。
22小时。因此，此类路线所需的最短时间为26+22=48(小时)...(5分)
(2)从A城市出发到B城市，不经过o城市，此时从A城市到B城市，必须经过C、D、E城市或F、G、H城市，所需时间至少49小时...(10分)
综上，从A市到达B市的最短时间为48小时，走的路线如下:
A → F → O → E → B...(12分)
所需的最低成本是:
80×48×1.2=4608(元)...(14分)
答案:这个人从A城到B城的最短路线是A→F→O→E→B，最低花费4608元…(15分)。
13B..如图所示，在△ABC中，∠ ACB = 90。
(1)当D点在斜边AB内时，证明:。
(2)当D点与A点重合时，第(1)项中的方程是否存在？请说明原因。
(3)当D点在BA的延长线上时，第(1)项中的方程是否存在？请说明原因。
解:(1)是DE⊥BC，竖足是e，由勾股定理得出。
所以。
因为DE‖AC所以。
因此.....(10分)
(2)当D点与A点重合时,( 1)分项中的等式仍然成立。此时有AD=0，CD=AC，BD=AB。
所以，。
因此,( 1)子项中的等式成立.....(13分)
(3)当D点在BA的延长线上时,( 1)分项中的方程不成立。
对DE⊥BC来说，公元前的延长线在e点，那么
而且，
因此.....(15分)
【说明】只要子问题(3)的答案不成立(不清楚成立原因不扣分)。
14B..已知实数A，B，C满足:a+b+c=2，abc=4。
(1)求A、B、C中最大的最小值；
(2)求最小值。
解法:(1)设A为A，B，C中最大的一个，即a≥b，a≥c，由此可知a & gt0,
而b+c=2-a，.
所以b和c是一个二次方程的两个实根，≥0，
≥0, ≥0.所以a ≥ 4...(8分)
当a=4，b=c=-1时，满足题意。
因此，A、B和C中最大值的最小值是4...(10分)。
(2)因为abc & gt0，所以A，B，C都大于0或者一加二减。
1)若A、B、C均大于0，则由(1)可知A、B、C中最大的不小于4，与a+b+c=2相矛盾。
2)若A、B、C任一正二负，设A >；0，b & lt0，c & lt那么，0
,
由(1)可知，a≥4，所以2a-2≥6。当a=4，b=c=-1时，满足问题设置条件，不等式等号成立。因此，最小值是6...(15分)。
13A..如图，直径⊙O的长度是关于x的二次方程的最大整数根(k为整数)。P是⊙ o外的一点，且⊙O的切线PA和割线PBC通过P点，其中A是切点，B点和C点是直线PBC和⊙O的交点
解法:设方程的两个根为，，≤。它是由根和系数的关系得到的。
- ①, - ②
从题目和①中，我们知道，是一个整数。从①，②，消去k，得到，
。
由上式可知，且k=0时，最大整数根为4。
所以⊙O的直径是4，所以BC≤4。
因为BC = PC-Pb是正整数，所以BC=1，2，3或4...(6分)
连接AB和AC，因为∠PAB=∠PCA，所以PAB∽△PCA，
因此，③...(10分)
(1)当BC=1时，由③得出，所以，矛盾！
(2)当BC=2时，由③得出，所以，矛盾！
(3)当BC=3时，由③得到，所以，
因为PB不是复数，所以只有可能。
, ,
求解。
这个时候。
(4)当BC=4时，由③得出，所以是矛盾的。
综上...(15分)
14A..圆周上有一些数字。如果有A、B、C、D四个数依次相连，不等式>；0，那么b和c的位置就可以互换了，这叫一个运算。
(1)如果圆周上依次有数字1、2、3、4、5、6，问:圆周上依次相连的四个数字A、B、C、D，经过有限次运算后，是否都能≤0？请说明原因。
(2)如果圆周上有2003个正整数1，2，…，2003按顺时针方向由小到大，请问:圆周上依次相连的A，B，C，D四个数经过有限次运算后是否都≤0？请说明原因。
解:(1)答案是肯定的。具体操作如下:
.....(5分)
(2)答案是肯定的。假设这个2003年的数字的两个相邻数字的乘积之和是P.....(7分)。
开始时，= 1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1。k(k≥0)次运算后，这2003个数的两个相邻数的乘积之和为。这时，如果四个数A和B在圆周上依次相连，则为0，即A b+ CD & gt；Ac+bd，交换b和c的位置后，这2003个数的两个相邻数的乘积之和为，与。
所以每一次运算，两个相邻数的乘积之和至少会减少1。因为两个相邻数的乘积总是大于0，经过有限次运算后，必然有≤ 0...(15分)对于任意四个依次相连的数字A、B、C、D。