找几道高中数学竞赛题
1.设实数A，B，C，D满足a+b=c+d=1，AC+BD > 1，则A，B，C，D四个数()。
A.所有都必须是正实数
B.至少有一个负数
C.有且只有一个负数
D.以上都不是真的
2.已知△ABC三个内角的弧度为A、B、C，对应的边长为A、B、C，如果还记得，那么()。
A.
B.
C.
D.
3.三个正实数A，B，C满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0。下列说法正确的是()。
A.有边A、B和C的三角形一定是钝角三角形。
B.有边A、B和C的三角形一定是直角三角形。
有边a、b和c的三角形一定是锐角三角形。
没有边为a、b和c的三角形。
4.n个数由正数Xi组成(I = 1，2，...，N)不完全相等:，，，，关于这个N数()下列说法是正确的。
A.这n个数字都不大于2。
B.n的数量不小于2。
c最多有n-1，数量不少于2。
d最多有n-1，数量不超过2。
5.已知三个正实数A，B，C满足A2+B2 = C2 n是大于1的正整数。记住当m > n (m为正整数)时，有()。
法(男)>法(女)
B.f(m) C.f(m)=f(n) D.f(m)≥f(n) 6.设A，B，C，D为正实数，下面三个不等式: a+b (a+b)(c+d) (a+b)cd 最多有()个不等式可以同时成立。 A.0 B.1 C.2 D.3 第二，填空 7.已知f (x) = x2+bx+C. if | f (1) | <。| f (2) | 8.实数A、B、C、D同时满足以下三个条件。 ①d > c；②a+b = c+d；③a+d 那么a、b、c、d的顺序是_ _ _ _ _ _ _ _。 9.已知x，y，z为实数，|xyz|的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _。 10.众所周知，A、B和C是三角形三条边的长度。注意，p=(a2+b2+c2)2，q=2(a4+b4+c4)，那么P和Q的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。 11.用max{a，b，c}表示A，b，c三个数中最大的一个，如果，，其中X，Y为正实数，则max{a，b，c} = _ _ _ _ _ _ _ _。 12.设△ABC的三边为A、B、C，a+b+c=2，则a2+b2+c2+2abc与2的关系为_ _ _ _ _ _。 第三，回答问题 13.已知f (x) = Ax2+BX+C (a > 0)，三个正数P，Q，R满足p+q+r=1，三个实数x1，x2，x3互不相等。证明: pf(x 1)+qf(x2)+RF(x3)> f(px 1+qx2+rx3)。 14.x，Y，z∈R已知，x+y+z=0。 验证:6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3。 15.注意，p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2)，当A = B = C > 0或A = B > 0，c=0时，都有p≥0。 证明:当a，b，c是任意三角形的三条边时，有p≥0。 参考答案 一、选择题 1.从a+b=c+d=1，1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc， ∴ad+bc=1-(ac+bd)<0. 所以A，B，C，d中至少有一个负数，当a=-1，b=2，c=-2，d=3时，满足题意，所以选B。 2.从a < b+c，2a < a ∴ 同理。 ∴ 和 ∴因此选择b 3.由题目设定 ∴ ∴, ∴c>a. 而且， ∴ A+B > C。所以a、b和c是三角形三条边的长度。 ，所以选a。 4.∵, 这n个数的和可以写成 因为Xi (I = 1，2，...n)不完全相等， 所以，A是错的。 取Xi = I (I = 1，2，…，n)就知道B是错的。 取Xi = I+1 (I = 1，2，…，n)就知道C是错的，所以要选D。 其实设x2=x3=…=xn=1，满足d . 5.设a2+b2=c2为a=ccosθ，b=csinθ。 然后， ∴ 首先比较f(n)和f(n+1)的大小； ∫[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1) =(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n >(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n =(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1) , (∵,∴), ∴f(n)>f(n+1). ∴f(n)>f(n+1)>f(n+2)>…>f(m)， 所以选b。 6.当cd≤ab时， 如果①成立，那么， 即③成立。 假设此时②为真，则有 (a+b)2<(a+b)(c+d) 矛盾。 所以，当①和③成立时，②一定不成立。 当CD > ab时， 如果③成立，那么∴ ①成立。 假设此时②为真，则由③得出。 ∴ 矛盾。 即③成立时，②不成立。 综上，①、②、③最多两个有效，所以c . 第二，填空 7. ∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8. = f(1)+2f(2)-2f(1)+2 =2f(2)-f(1)+2。 由， 8.0 < d-c < b-a，∴ a < b从③。 2a < a+b = c+d < 2d，∴ a < d . 经过 B-d = c-a > 0，∴ b >来自③的d。 ∴a、b、c和d的顺序是A < C < D < B 9.设，，，那么a+b+c=1，并且，， ∴, 当且仅当x2=y2=z2=2时，取符号“=”。 ∴，也就是|xyz|的最小值是 10 . q-p = a4+B4+C4-2a2b 2-2b2c 2-2c2a 2 =(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2 =(a2+b2-c2)2-(2ab)2 =[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2] =(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)< 0。 ∴q 11. 以同样的方式；以类似的方式 假设当0 < t1 < t2时， ∴f(t1) 即f(t)在(0，+∞)处是增函数。 知道1 < tan θ < tan 2θ， ∴f(1) 那就是a < b < C。 ∴max{a,b,c}=c. 12.a2+b2+c2+2abc-2 =(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2 =2(1-ab-bc-ca+abc)。 ∵∴0 同理，0 < b < 1，0 < c < 1， ∴(1-a)(1-b)(1-c)>0. ∴a2+b2+c2+2abc<2. 第三，回答问题 13 . pf(x 1)+qf(x2)+RF(x3) , ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3) = apq(x 1-x2)2+apr(x 1-x3)2+aqr(x2-x3)2 > 0。 ∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3). 14.设x=rcosθ，y=rsinθ， 那么z=-r(cosθ+sinθ)。 当r=0时，原不等式明显成立； 当r≠0时，原不等式等价于证明。 6[cos 3θ+sin 3θ-(cosθ+sinθ)3]2 ≤[ cos 2θ+sin 2θ+(sinθ+cosθ)2]3， 也就是说25 sin 32θ+15 sin 22θ-24 sin 2θ-16≤0， 即(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0。 这个不等式显然成立，证明了原来的不等式。 15.当a = b = c > 0时，； 当a = b > 0且c a=b>0时， (1)λ≥0时， p =λ(a4+B4+C4-a2 B2-B2 C2-C2 a2)+(λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2) ； (2)当λ < 0时， p =λ(a4+B4+C4-2a2b 2-2b2c 2-2c2a 2)+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2) =λ[(a2+B2)2-2 C2(a2+B2)+C4-4a 2 B2]+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2) =λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2)。 ∴p≥0. 3.不等式>；0的解集是() A.[2，3] B .(2，3) C .[2，4] D .(2,4) 【答案】C