找几道高中数学竞赛题
1.设实数A，B，C，D满足a+b=c+d=1，AC+BD > 1，则A，B，C，D四个数()。
A.所有都必须是正实数
B.至少有一个负数
C.有且只有一个负数
D.以上都不是真的
2.已知△ABC三个内角的弧度为A、B、C，对应的边长为A、B、C，如果还记得，那么()。
A.
B.
C.
D.
3.三个正实数A，B，C满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0。下列说法正确的是()。
A.有边A、B和C的三角形一定是钝角三角形。
B.有边A、B和C的三角形一定是直角三角形。
有边a、b和c的三角形一定是锐角三角形。
没有边为a、b和c的三角形。
4.n个数由正数Xi组成(I = 1，2，...，N)不完全相等:，，，，关于这个N数()下列说法是正确的。
A.这n个数字都不大于2。
B.n的数量不小于2。
c最多有n-1，数量不少于2。
d最多有n-1，数量不超过2。
5.已知三个正实数A，B，C满足A2+B2 = C2 n是大于1的正整数。记住当m > n (m为正整数)时，有()。
法(男)>法(女)
B.f(m)
C.f(m)=f(n)
D.f(m)≥f(n)
6.设A，B，C，D为正实数，下面三个不等式:
a+b
(a+b)(c+d)
(a+b)cd
最多有()个不等式可以同时成立。
A.0 B.1 C.2 D.3
第二，填空
7.已知f (x) = x2+bx+C. if | f (1) | <。| f (2) |
8.实数A、B、C、D同时满足以下三个条件。
①d > c；②a+b = c+d；③a+d
那么a、b、c、d的顺序是_ _ _ _ _ _ _ _。
9.已知x，y，z为实数，|xyz|的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _。
10.众所周知，A、B和C是三角形三条边的长度。注意，p=(a2+b2+c2)2，q=2(a4+b4+c4)，那么P和Q的关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。
11.用max{a，b，c}表示A，b，c三个数中最大的一个，如果，，其中X，Y为正实数，则max{a，b，c} = _ _ _ _ _ _ _ _。
12.设△ABC的三边为A、B、C，a+b+c=2，则a2+b2+c2+2abc与2的关系为_ _ _ _ _ _。
第三，回答问题
13.已知f (x) = Ax2+BX+C (a > 0)，三个正数P，Q，R满足p+q+r=1，三个实数x1，x2，x3互不相等。证明:
pf(x 1)+qf(x2)+RF(x3)> f(px 1+qx2+rx3)。
14.x，Y，z∈R已知，x+y+z=0。
验证:6(x3+y3+z3)2≤(x2+y2+z2)3。
15.注意，p=λ(a4+b4+c4)+μ(a2b2+b2c2+c2a2)，当A = B = C > 0或A = B > 0，c=0时，都有p≥0。
证明:当a，b，c是任意三角形的三条边时，有p≥0。
参考答案
一、选择题
1.从a+b=c+d=1，1=(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc，
∴ad+bc=1-(ac+bd)<0.
所以A，B，C，d中至少有一个负数，当a=-1，b=2，c=-2，d=3时，满足题意，所以选B。
2.从a < b+c，2a < a
∴
同理。
∴
和
∴因此选择b
3.由题目设定
∴
∴,
∴c>a.
而且，
∴ A+B > C。所以a、b和c是三角形三条边的长度。
，所以选a。
4.∵,
这n个数的和可以写成
因为Xi (I = 1，2，...n)不完全相等，
所以，A是错的。
取Xi = I (I = 1，2，…，n)就知道B是错的。
取Xi = I+1 (I = 1，2，…，n)就知道C是错的，所以要选D。
其实设x2=x3=…=xn=1，满足d .
5.设a2+b2=c2为a=ccosθ，b=csinθ。
然后，
∴
首先比较f(n)和f(n+1)的大小；
∫[f(n)]n(n+1)-[f(n+1)]n(n+1)
=(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinn+1θ+cosn+1θ)n >(sinnθ+cosnθ)n+1-(sinnθ+cosnθ)n
=(sinnθ+cosnθ)n(sinθ+cosθ-1)
,
(∵,∴),
∴f(n)>f(n+1).
∴f(n)>f(n+1)>f(n+2)>…>f(m)，
所以选b。
6.当cd≤ab时，
如果①成立，那么，
即③成立。
假设此时②为真，则有
(a+b)2<(a+b)(c+d)
矛盾。
所以，当①和③成立时，②一定不成立。
当CD > ab时，
如果③成立，那么∴ ①成立。
假设此时②为真，则由③得出。
∴
矛盾。
即③成立时，②不成立。
综上，①、②、③最多两个有效，所以c .
第二，填空
7.
∴f(3)=9+3b+c=(1+b+c)+2b+8.
= f(1)+2f(2)-2f(1)+2
=2f(2)-f(1)+2。
由，
8.0 < d-c < b-a，∴ a < b从③。
2a < a+b = c+d < 2d，∴ a < d .
经过
B-d = c-a > 0，∴ b >来自③的d。
∴a、b、c和d的顺序是A < C < D < B
9.设，，，那么a+b+c=1，并且，，
∴,
当且仅当x2=y2=z2=2时，取符号“=”。
∴，也就是|xyz|的最小值是
10 . q-p = a4+B4+C4-2a2b 2-2b2c 2-2c2a 2
=(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-4a2b2
=(a2+b2-c2)2-(2ab)2
=[(a+b)2-c2][(a-b)2-c2]
=(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)< 0。
∴q
11.
以同样的方式；以类似的方式
假设当0 < t1 < t2时，
∴f(t1)
即f(t)在(0，+∞)处是增函数。
知道1 < tan θ < tan 2θ，
∴f(1)
那就是a < b < C。
∴max{a,b,c}=c.
12.a2+b2+c2+2abc-2
=(a+b+c)2-2ab-2bc-2ca+2abc-2
=2(1-ab-bc-ca+abc)。
∵∴0
同理，0 < b < 1，0 < c < 1，
∴(1-a)(1-b)(1-c)>0.
∴a2+b2+c2+2abc<2.
第三，回答问题
13 . pf(x 1)+qf(x2)+RF(x3)
,
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)-f(px1+qx2+rx3)
= apq(x 1-x2)2+apr(x 1-x3)2+aqr(x2-x3)2 > 0。
∴pf(x1)+qf(x2)+rf(x3)>f(px1+qx2+rx3).
14.设x=rcosθ，y=rsinθ，
那么z=-r(cosθ+sinθ)。
当r=0时，原不等式明显成立；
当r≠0时，原不等式等价于证明。
6[cos 3θ+sin 3θ-(cosθ+sinθ)3]2 ≤[ cos 2θ+sin 2θ+(sinθ+cosθ)2]3，
也就是说25 sin 32θ+15 sin 22θ-24 sin 2θ-16≤0，
即(sin2θ-1)(5sin2θ+4)2≤0。
这个不等式显然成立，证明了原来的不等式。
15.当a = b = c > 0时，；
当a = b > 0且c a=b>0时，
(1)λ≥0时，
p =λ(a4+B4+C4-a2 B2-B2 C2-C2 a2)+(λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2)
；
(2)当λ < 0时，
p =λ(a4+B4+C4-2a2b 2-2b2c 2-2c2a 2)+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2)
=λ[(a2+B2)2-2 C2(a2+B2)+C4-4a 2 B2]+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2)
=λ(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)+(2λ+μ)(a2 B2+B2 C2+C2 a2)。
∴p≥0.
3.不等式>；0的解集是()
A.[2，3] B .(2，3) C .[2，4] D .(2,4)
【答案】C