高中数学联赛数论

应该允许x，y，z取0，否则无法得到最大值。

1)这是一个常规话题。

(x+y+z)？-3(xy+yz+zx) = x？+y？+z？-xy-yz-zx = ((x-y)？+(y-z)？+(z-x)？)/2 ≥ 0.

所以xy+yz+zx ≤ (x+y+z)？/3 = 1/3，得到等号的充要条件是x = y = z = 1/3。

事实上，不等式适用于任何实数。

当n ≥ 2时，情况大不相同，在边界上获得最大值。

比如n = 2时，在x = 0，y = 2/3，z = 1/3以及它们的旋转中得到。

因此，下面的不对称处理更加自然。

2)根据旋转对称性，我们不妨假设Z既不是最大值也不是最小值，即x ≤ z ≤ y或Y ≤ Z ≤ X .

所以有(x-z)(y-z) ≤ 0，也就是xy+z？≤ (x+y)z。

然后x？y+y？z+z？x = x(xy+z？)+y？z ≤ xz(x+y)+y？z = z(x？+xy+y？)≤ z(x+y)？= z(1-z)？。

那么从均值不等式出发，z(1-z)？= 2z(1-z)(1-z)/2 ≤((2z)+(1-z)+(1-z))/3)？/2 = 4/27.

不难验证当且仅当X = 0，Y = 2/3，Z = 1/3时得到等号。

3)对于一般n > 1，也设z既不是最大值也不是最小值。

考虑函数f(u) = u (n-1)+u (n-2) y+...+u y (n-2)以y为参数，显然f (u)对于u ≥ 0是增函数。

然后有(f(x)-f(z))(y-z) ≤ 0，即y f (x) ≤ z f (x)+(y-z) f (z)。

左端f (x) ≥ x (n-1)，所以x (n-1) y ≤ z f (x)+(y-z) f (z)。

注意(y-z)f(z)=(y-z)z(z(n-2)+z(n-3)y+...+y (n-2)) = z (y (n-1)-z。

x(n-1)y+z n≤z(f(x)+y(n-1))= z(x(n-1)+x(n-2)y+。

因此，x n y+y n z+z n x = x(x(n-1)y+z n)+y n z。

≤ xz(x^(n-1)+x^(n-2) y+...+x y^(n-2)+y^(n-1))+y^n z

= z(x^n+x^(n-1) y+...+x y^(n-1)+y^n)

≤ z(x+y)^n

= z(1-z)^n

= nz(1-z)(1-z)...(1-z)/n

≤ ((nz+(1-z)+(1-z)+...+(1-z))/(n+1))^(n+1)/n

= n^n/(n+1)^(n+1).

很容易看出，当x = 0，y = n/(n+1)，z = 1/(n+1)时，等号成立。

在n = 2的情况下，还有一种对称方法:

可验证4(x+y+z)？-27(x？y+y？z+z？x) = x(4y+z-2x)？+y(4z+x-2y)？+z(4x+y-2z)？≥ 0.

所以x？y+y？z+z？x ≤ 4(x+y+z)？/27 = 4/27.

这个看似神奇的公式其实是有迹可循的，线索就是三个等号的成立条件，可以具体考虑。

当然，猜对匹配方法后，还是要和原公式进行对比。这里没有多余的物品，有运气成分。

类似的想法适用于n = 3。

可验证:27(x+y+z)？-256(x？y+y？z+z？x)

= x(3x+14y/9)(9y+z-3x)？+y(3y+14z/9)(9z+x-3y)？+z(3z+14x/9)(9x+y-3z)？+2248xyz(x+y+z)/9。

通过比较系数构造出因子3x+14y/9，然后剩余项为2248xyz(x+y+z)/9。

N = 4我算了，方法可行，但是公式太复杂，这里就不写了。

总之是可以推广的，只是需要更具体的讨论和计算。我个人目前没有这样的意愿。