一道高考数学题

解决方案:

(1)让A(丫？/2p，yA)，B(yB？/2p，yB)

靠y？=2px两边求导x，得到:

2yy'=2p

即:y’= p/y

以A点和B点为切点的抛物线的切线方程分别为:

y-yA=p(x-yA？/2p)/yA

y-yB=p(x-yB？/2p)/yB

即:

y=px/yA+yA/2

y=px/yB+yB/2

由MA⊥MB，有:

(p/yA) (p/yB)=-1

也就是

yAyB=-p？

从MA和MB都经过的点M(x0，y0)开始，我们得到

px0/yA+yA/2=px0/yB+yB/2

因此

x0=(yAyB)/2p=-p/2

(2)由(1)可知，m在抛物线的直线上。

当p=2时，x0=-1。

设AB的线性方程为:

y=kx+b

代入a和b的坐标，解为:

k=2p/(yA+yB)，b=-yAyB/(yA+yB)

即:

AB的等式是:

y=2px/(yA+yB)-yAyB/(yA+yB)

设y=0，所以:

x=yAyB/2p=-p/2

因此，AB通过抛物线的焦点F(-p/2，0)。

抛物线上的点到焦点的距离等于准线的距离:

yA和yB的符号不同。

AB=AF+BF=(yA？/2p+p/2)+(yB？/2p+p/2)

=(丫？+yB？)/2p+p

≥-2yAyB/2p+p

=2p？/2p+p

=2p

“=”成立当且仅当yA=-yB，即yA=-yB=p/2。